6.8 1 次式の根号を含む関数の積分

定理 6.44 (根号を含む場合の計算)   関数 $f(x)$ に根号 $\sqrt[n]{ax+b}$ $(a\neq0)$ を含む場合の 不定積分を考える． 変数変換

$$t=\sqrt[n]{ax+b}$$

とおき置換積分法で求積する． 両辺を $n$ 乗すると

$$x = \frac{t^n-b}{a}$$

を得る．またこれより

$$\frac{dx}{dt} = \frac{n\,t^{n-1}}{a}$$

が成り立つ．よって $f(x)$ の不定積分は

$$\int f(x)\,dx = \int f\left(\frac{t^n-b}{a}\right) \frac{dx}{dt}\,dt= \frac{n}{a} \int f\left(\frac{t^n-b}{a}\right)t^{n-1}\,dt$$

より求められる．

例 6.45 (根号を含む場合の計算例)   不定積分

$$I = \int\frac{dx}{x+2\sqrt{x-1}}$$

を考える．まず

$$t =\sqrt{x-1}$$

とおく．これより

$$x =t^2+1\,,\qquad \frac{dx}{dt}=2t$$

となる．よって置換積分法より

$$I = \int\frac{dx}{x+2\sqrt{x-1}}\,dt= \int\frac{1}{(t^2+1)+2t}\times (2t)\,dt= 2\int\frac{t}{(t+1)^2}\,dt$$

$$= 2\int\frac{(t+1)-1}{(t+1)^2}\,dt= 2\int\frac{dt}{t+1}-2\int\frac{dt}{(t+1)^2}$$

$$= 2\log\vert t+1\vert+\frac{2}{t+1}+C= 2\log(1+\sqrt{x-1})+\frac{2}{1+\sqrt{x-1}}+C$$

を得る．

例 6.46 (根号を含む不定積分)   $t=\sqrt{x-1}$ とおいて置換積分を行う：

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x-1}}= \int\frac{2t}{(t^2+1)t}dt= 2\int\frac{dt}{t^2+1}= \mathrm{Tan}^{-1}t+C= \mathrm{Tan}^{-1}\sqrt{x-1}+C\,.$$

例 6.47 (根号を含む不定積分)   $t=\sqrt[3]{x}$ , $x=t^3$ , $dx/dt=3t^2$ とおき， さらに $s=\sqrt{t}$ , $t=s^2$ , $dt/ds=2s$ とおいて置換積分する：

$$\int\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}dx= \int\frac{(\sqrt{t})^33t^2}... ...^2(\sqrt{t})^3}{1+t}dt= 3\int\frac{s^4s^32s}{1+s^2}ds= 6\int\frac{s^8}{1+s^2}ds$$

$$= 6\int \left(s^6-s^4+s^2-1+\frac{1}{1+s^2}\right)ds= 6\left( \frac{s^7}{7}-\frac{s^5}{5}+\frac{s^3}{3}-s+\mathrm{Tan}^{-1}s \right)+C$$

$$= \frac{6\sqrt{t^7}}{7}-\frac{6\sqrt{t^5}}{5}+2\sqrt{t^3}-\sqrt{t}+6\mathrm{Tan}^{-1}\sqrt{t}+C$$

$$= \frac{6x\sqrt[6]{x}}{7}-\frac{6\sqrt[6]{x^5}}{5}+2\sqrt{x}-\sqrt[6]{x}+6\mathrm{Tan}^{-1}\sqrt[6]{x}+C,.$$

平成19年10月3日