6.22 演習 〜 定積分

問 6.100 (定積分)   次の定積分を求めよ．
    (1)   $${\int_{0}^{1}x^2\sqrt{1-x^2}\,\,dx}$$     (2)   $${\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}\,\,dx}$$     (3)   $${\int_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{2}{\sqrt{x^2-2x+3}}\,\,dx}$$     (4)   $${\int_{0}^{1}\sqrt{(3x+1)^3}\,\,dx}$$
    (5)   $${\int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$$     (6)   $${\int_{0}^{2a}x^2\sqrt{2ax-x^2}\,dx}$$     ($a>0$ )     (7)   $${\int_{0}^{\pi}x\sin x \,\,dx}$$     (8)   $${\int_{0}^{\pi}\cos^4 x\,\,dx}$$
    (9)   $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos x\,\,dx}$$     (10)   $${\int_{0}^{\pi}x^3\cos x\,dx}$$     (11)   $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}\,dx}$$     (12)   $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin^3 x}\,dx}$$
    (13)   $${\int_{0}^{1}\left(\mathrm{Sin}^{-1} x\right)^{4}\,dx}$$     (14)   $${\int_{0}^{1}x\log x\,\,dx}$$     (15)   $${\int_{1}^{e}\frac{(\log x)^4}{x}dx}$$     (16)   $${\int_{0}^{2}\frac{x^3}{(x+1)^2}\,\,dx}$$

問 6.101 (定積分)   定積分 $${I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx}$$ $${(n=0,1,2,\cdots)}$$ について次の問に答えよ．
    (1)  $n=0,1,2,3$ のときの$I_{n}$ の値を求めよ．     (2)  $n\geq 2$ のときの$I_{n}$ の漸化式を求めよ．
    (3)  $n$ が偶数のとき $I_{n}=\displaystyle{\frac{(n-1)!!}{n!!}\,\,\frac{\pi}{2}}$ であり， $n$ が奇数のとき $I_{n}=\displaystyle{\frac{(n-1)!!}{n!!}}$ となることを示せ．

問 6.102 (曲線の長さ)   $-1\leq x\leq 1$ における曲線の長さを求めよ．
    (1)   $${y=\cosh x}$$     (2)  $y=x^2$

問 6.103 (面積)   $2$ つの曲線 $${y=\frac{x^3}{4}}$$ と $y=x^3-x$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

問 6.104 (面積)   楕円 $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$$ $(a>0\,,\,b>0)$ の内部の 面積を定積分を用いて求めよ．

平成19年10月3日