6.23 広義積分

有限区間で連続な関数に対し定義される量が定積分である． 不連続点を含む区間や無限区間における積分へ拡張する． この拡張された積分を広義積分（improper integral）という．

定義 6.105 (不連続点を含む区間での広義積分)   関数 $f(x)$ が $x=a$ で不連続で，区間 $(a,b]$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\,.$$

$x=b$ で不連続で，区間 $[a,b)$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \int_{a}^{b-\epsilon}f(x)\,dx\,.$$

$x=c$ $(a<c<b)$ で不連続で，区間 $[a,b]$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon_1\to+0} \int_{a}^{c-\epsilon_1}f(x)\,dx + \lim_{\epsilon_2\to+0} \int_{c+\epsilon_2}^{b}f(x)\,dx\,.$$

以上の極限が存在するとき広義積分は収束するという．

例 6.106 (不連続点を含む広義積分の具体例)  

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0... ...^{1}= \lim_{\varepsilon\to+0} \left( 2\sqrt{1}-2\sqrt{\varepsilon} \right)=2\,.$$

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0+\varep... ...og 1-\log\varepsilon\right)= -\lim_{\varepsilon\to+0}\log\varepsilon=+\infty\,.$$

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2}= \lim_{\varepsilon\to+0} \int_{0+\var... ...}^{1}= \lim_{\varepsilon\to+0}\left( -1+\frac{1}{\varepsilon}\right)=+\infty\,.$$

定理 6.107 (広義積分の収束次数)   実数 $p>0$ に対して次の広義積分が成り立つ：

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (0<p<1) \\ [1em] +\infty & (p\geq1) \end{array}\right.$$

問 6.108 (広義積分の収束次数)   これを示せ．

定義 6.109 (無限区間での広義積分)   関数 $f(x)$ が無限区間 $[a,\infty)$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$$

無限区間 $(-\infty,b]$ で連続なとき，

$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$$

無限区間 $(-\infty,\infty)$ で連続なとき，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx= \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$$

以上の極限が存在するとき広義積分は収束するという．

例 6.110 (無限区間での広義積分の具体例)  

$$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}= \lim_{b\to\infty} \int_{0}^{b... ...}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(\mathrm{Tan}^{-1}(b)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)\right)$$

$$= \lim_{b\to\infty}\mathrm{Tan}^{-1}(b)=\frac{\pi}{2}\,.$$

例 6.111 (無限区間での広義積分の具体例)  

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}= \lim_{a\to-\infty} \lim... ...2+1}= \lim_{a\to-\infty} \lim_{b\to\infty} \Big[\mathrm{Tan}^{-1}x\Big]_{a}^{b}$$

$$= \lim_{a\to-\infty} \lim_{b\to\infty} \left(\mathrm{Tan}^{-1}(b)... ...b\to\infty}\mathrm{Tan}^{-1}(b)- \lim_{a\to-\infty}\mathrm{Tan}^{-1}(a) =\pi\,.$$

例 6.112 (無限区間での広義積分の具体例)   $\alpha>0$ に対して

$$\int_{-\infty}^{0}e^{\alpha\,x}\,dx= \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^... ...a\to-\infty} \frac{1}{\alpha} \left(1-e^{\alpha\,a}\right)= \frac{1}{\alpha}\,.$$

例 6.113 (無限区間での広義積分の具体例)  

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^... ...g[2\sqrt{x}\Big]_{1}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(2\sqrt{b}-2\right)=+\infty\,.$$

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\fra... ...lim_{b\to\infty} \left(\log b-\log 1\right)= \lim_{b\to\infty}\log b=+\infty\,.$$

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}= \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b}\f... ...-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b}= \lim_{b\to\infty} \left(-\frac{1}{b}+1\right)=1\,.$$

定理 6.114 (広義積分の収束次数)   実数 $p>0$ に対して次の広義積分が成り立つ：

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{ll} +\infty & (0<p\leq1) \\ [1em] \displaystyle{\frac{1}{1-p}} & (p>1) \end{array}\right.$$

問 6.115 (広義積分の収束次数)   これを示せ．

例 6.116 (広義積分の収束性)   広義積分

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x}x^{p}}$$

を考える．被積分関数は

$$\frac{1}{ex^{p}}\leq \frac{1}{e^{x}x^{p}}\leq \frac{1}{x^{p}}$$

の関係が成り立つので，

$$\frac{1}{e} \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{p}}\leq \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x}x^{p}}\leq \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{p}}$$

となる．ここで，

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}= \left\{\begin{array}{ll} \text{収束} & (0<p<1) \\ [1em] \text{発散} & (p\ge 1) \end{array}\right.$$

であるから，はさみうちの定理より，

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x}x^{p}}= \left\{\begin{array}{ll} \text{収束} & (0<p<1) \\ [1em] \text{発散} & (p\ge 1) \end{array}\right.$$

を得る．

平成19年10月3日