6.24 コーシーの主値積分

定義 6.117 (コーシーの主値積分)   関数 $ f(x)$$ x=c$ $ (a<c<b)$ で不連続で, 有限区間 $ [a,b]$ で連続なとき,

v.p.$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \left(\int_{a}^{c-\epsilon}f(x)\,dx+ \int_{c+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\right)$    

$ c$ におけるコーシーの主値積分(Cauchy's principal values of integral)という. また関数 $ f(x)$ が無限区間 $ (-\infty,\infty)$ で連続なとき,

v.p.$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx= \lim_{a\to\infty} \left(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx\right)$    

$ \infty$ におけるコーシーの主値積分という. 主値積分はまた

$\displaystyle \mathrm{P}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$    

とも表記する.

6.118 (広義積分での計算例)  

  $\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \lim_{\var...
...}^{-\varepsilon_{1}}\frac{dx}{x}+ \int_{\varepsilon_{2}}^{1}\frac{dx}{x}\right)$    
  $\displaystyle = \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \Big[\log\vert x\vert\Big]_{-1}^{-\...
...}+ \lim_{\varepsilon_{2}\to+0} \Big[\log\vert x\vert\Big]_{\varepsilon_{2}}^{1}$    
  $\displaystyle = \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \left(\log\varepsilon_{1}-\log 1\right)+ \lim_{\varepsilon_{2}\to+0} \left(\log1-\log\varepsilon_{2}\right)$    
  $\displaystyle = \lim_{\varepsilon_{1}\to+0}\log\varepsilon_{1}- \lim_{\varepsilon_{2}\to+0}\log\varepsilon_{2}= -\infty+\infty\,.$   $ \cdots$ 不確定    

6.119 (コーシーの主値積分での計算例)  

  v.p.$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon\to+0} \left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x}+ \int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x}\right)$    
  $\displaystyle = \lim_{\varepsilon\to+0} \Big[\log\vert x\vert\Big]_{-1}^{-\varepsilon}+ \Big[\log\vert x\vert\Big]_{\varepsilon}^{1}$    
  $\displaystyle = \lim_{\varepsilon\to+0} \left( \log\varepsilon-\log1+\log1-\log\varepsilon\right)$    
  $\displaystyle = \lim_{\varepsilon\to+0} \left(\log\varepsilon-\log\varepsilon\right)=0\,.$   $ \cdots$ 有限確定    


平成19年10月3日