6.25 級数と定積分

例 6.120 (調和級数と定積分)   曲線 $${y=\frac{1}{x}}$$ の面積を考える． 範囲が $1\leq x\leq n+1$ のときの面積を $S_{n}$ とする． また， 幅が $1$ で高さが $${\frac{1}{k}}$$ の 長方形の面積を $k=1,2,3,\cdots n$ まで足合わせたものを $T_{n}$ とする． このときグラフを書けば明らかに

$$S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+ \frac{1}{n} > \int_{1}^{n+1}\frac{dx}{x}= \log(n+1)=T_{n}$$

が成り立つ． よって $n\to\infty$ のとき

$$S =\lim_{n\to\infty}S_{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\,,\quad T=\lim_{n\to\infty}\log(n+1)=\infty$$

である． $S>T$ であるから， 調和級数 $S$ は発散する．

例 6.121 (発散する級数と定積分)  

$$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}= 1+ \frac{1}{\sqrt{2}}+ ... ...c{1}{\sqrt{n}}+\cdots \quad>\quad T=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\infty$$

である． よって級数 $${S=\sum\frac{1}{\sqrt{n}}}$$ は発散する．

例 6.122 (収束する級数と定積分)  

$$1=\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} \quad<\quad S=1+ \frac{1}{2^2}... ...s+ \frac{1}{n^2}+ \cdots \quad<\quad 1+ \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{(x-1)^2} =2$$

が成り立つ． $1<S<2$ であるから $${S=\sum\frac{1}{n^2}}$$ は収束する．

問 6.123 (級数の収束)  

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} = \left\{ \begin{array}{cl} \text{発散} & (0\leq p\leq 1)\\ [1ex] \text{収束} & (p>1) \end{array} \right.$$

となることを示せ．

平成19年10月3日