1.24 点の直線への正射影

定義 1.124 (点の直線への正射影)   点 $A$ から直線 $l$ に垂線を下ろした足 $C$ を 正射影という． 点 $A$ から点 $C$ への変換を射影変換という．

定理 1.125 (正射影)   点 $A$ から直線 $OB$ への正射影 $C$ は

$$\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{e})\vec{e}= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{... ...row{OA}\,,\quad \vec{b}=\overrightarrow{OB}\,,\quad \vec{c}=\overrightarrow{OC}$$ (133)

で与えられる．

（証明） 直線の単位方向ベクトルを $\vec{e}$ とする． このとき $\vec{c}=\alpha\vec{e}$ とおく． $\vec{a}-\vec{c}$ と $\vec{e}$ が直交するので $(\vec{a}-\vec{c})\cdot\vec{e}=0$ より

$$=(\vec{a}-\vec{c})\cdot\vec{e}= \vec{a}\cdot\vec{e}-\vec{c}\cdot\vec{e}= \vec{a}\cdot\vec{e}-(\alpha\vec{e})\cdot\vec{e}$$ 0 (134)

$$= \vec{a}\cdot\vec{e}-\alpha(\vec{e}\cdot\vec{e})= \vec{a}\cdot\vec{e}-\alpha\Vert\vec{e}\Vert^2= \vec{a}\cdot\vec{e}-\alpha$$ (135)

となるので， $\alpha=\vec{a}\cdot\vec{e}$ が成り立ち， $\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{e})\vec{e}$ を得る．

例 1.126 (正射影の具体例)   点 $A(1,1,1)$, $B(2,-1,1)\in\mathbb{R}^{3}$ を考える． 点 $A$ を直線 $OB$ への正射影を $C$ とする．

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とおく． $\vec{b}$ と向きが同じ単位ベトクルは

$$\vec{e}= \frac{\vec{b}}{\Vert\vec{b}\Vert}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (136)

である．ベクトル $\vec{c}$ の長さは

$$\vec{a}\cdot\vec{e}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \cd... ...ix} \right)= \frac{2\times2+1\times(-1)+1\times1}{\sqrt{6}}= \frac{2}{\sqrt{6}}$$ (137)

で与えられる． よって $\vec{c}$ の向きは $\vec{e}$ と同じなので

$$\overrightarrow{OC}= \vec{c}= (\vec{a}\cdot\vec{e})\vec{e}= \frac... ...rix}= \frac{1}{3} \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{3}\vec{b}$$ (138)

となる． 以上より $D(2/3,-1/3,1/3)$ である．

例 1.127 (正射影の具体例)   点 $A(1,0,2)$, $B(0,2,3)$, $C(1,2,-1)\in\mathbb{R}^{3}$ を考える． 点 $C$ から直線 $AB$ へ垂線を下ろした正射影を $D$ とする．

$\vec{a}=\overrightarrow{AC}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AD}$ とおく． このとき

$$\vec{a}=\overrightarrow{AC}= \begin{bmatrix}1-1 \\ 2-0 \\ -1-2 \e... ...{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{e}=\frac{b}{\Vert\vec{b}\Vert}$$ (139)

より

$$\vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{e})\vec{e}= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b... ... \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (140)

である．よって

$$\overrightarrow{OD}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}= \ov... ...+2 \\ 12+1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}5 \\ 2 \\ 13 \end{bmatrix}$$ (141)

となるので，

$$D\left( \frac{5}{6}, \frac{1}{3}, \frac{13}{6} \right)$$

を得る．

定理 1.128 (点の直線への正射影)   点 $A(\vec{a})$ から直線 $\vec{q}+t\vec{p}$ への 正射影 $B(\vec{b})$ は

$$\vec{b}=\vec{q}+ \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})} {\Vert\vec{p}\Vert^2} \vec{p}$$ (142)

である．

問 1.129 (点の直線への正射影)   これを示せ．

平成20年2月2日