1.25 点と直線との距離

定義 1.130 (点と直線との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の点 $A$ と直線 $l$ を考える． 点 $A$ と $l$ 上の点 $B$ との距離が最小となるとき， その距離を点と直線との距離という．

定理 1.131 (点と直線との距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の 点 $A$ と直線 $l$ を考える． 点 $A$ と $l$ 上の点 $B$ との距離が最小となるのは， 直線 $AB$ と直線 $l$ が直交するときである．

問 1.132 (点と直線との距離)   これを示せ．

（証明） 点 $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$ とする． 点 $B$ を直線 $l$ 上の点とする． すなわち $\vec{b}(t)=\vec{q}+t\vec{p}$ とおく． 点 $A$ と $B$ の距離を考える．

$$AB^2 = \Vert\vec{b}-\vec{a}\Vert^2= (\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{a})= (\vec{q}+t\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{q}+t\vec{p}-\vec{a})$$ (143)

$$= (\vec{a}-\vec{q})\cdot(\vec{a}-\vec{q})- 2t\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})+ t^2\vec{p}\cdot\vec{p}$$ (144)

$$= \Vert\vec{p}\Vert^2t^2-2t\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})+ \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2$$ (145)

$$= \Vert\vec{p}\Vert^2 \left(t- \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q}... ...\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert}\right)^2$$ (146)

より $t=t_{\mathrm{min}}= \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})/\Vert\vec{p}\Vert^2$ のとき 最小値

$$\min_{t\in\mathbb{R}} \Vert\vec{b}-\vec{a}\Vert^2= \Vert\vec{a}-\... ...\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert}\right)^2$$ (147)

をとる． このとき

$$\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{b}(t_{\mathrm{min}})) = \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q}-t_{\mathrm{min}}\vec{p})= \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})- t_{\mathrm{min}}\Vert\vec{p}\Vert^2$$ (148)

$$= \Vert\vec{p}\Vert^2\left( \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert^2}- t_{\mathrm{min}} \right)=0$$ (149)

が成り立つ． $\vec{p}$ と $\vec{a}-\vec{b}(t_{\mathrm{min}})$ とは直交する． $\vec{p}$ は直線 $l$ の方向ベクトルであり， $\vec{a}-\vec{b}(t_{\mathrm{min}})$ は直線 $AB$ の方向ベクトルである． よって距離が最小になるとき直線 $l$ と直線 $AB$ は直交する．

例 1.133 (点と直線の距離)   点 $A(1,0,2)$, $B(0,2,3)$, $C(1,2,-1)\in\mathbb{R}^{3}$ において， 点 $C$ と直線 $AB$ を考える． 点 $C$ から直線 $AB$ への正射影は

$$D\left( \frac{5}{6}, \frac{1}{3}, \frac{13}{6} \right)$$

であるら，距離は

$$\Vert\overrightarrow{CD}\Vert= \sqrt{ \left(1-\frac{5}{6}\right)^... ...(2-\frac{1}{3}\right)^2+ \left(-1-\frac{13}{6}\right)^2 } = \sqrt{\frac{77}{6}}$$

より求まる．

定理 1.134 (点と直線の距離)   $\mathbb{R}^{n}$ 空間内の 点 $A(\vec{a})$ と直線 $\vec{x}(t)=\vec{q}+t\vec{p}$ との距離は

$$\sqrt{ \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{p}\Vert}\right)^2}$$ (150)

である．

問 1.135 (点と直線の距離)   これを示せ．

(証明その1) 問 の証明より $t=t_{\mathrm{min}}$ のとき 点と直線の距離であるから， ()より明らか．

(証明その2) 点 $A(\vec{a})$ の直線 $B(\vec{b})$ への正射影 $B(\vec{b})$ を考える． このとき

$$\vec{b}= \vec{q}+((\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{e})\vec{e}, \quad \vec{e}=\frac{\vec{p}}{\Vert\vec{p}\Vert}$$ (151)

である． ここで $\vec{e}$ は直線の単位方向ベクトルであり $\Vert\vec{e}\Vert^2=\vec{e}\cdot\vec{e}=1$ となることに注意する． 点 $A$, $B$ との距離は

$$\Vert\vec{a}-\vec{b}^2\Vert = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})$$ (152)

$$= ((\vec{a}-\vec{q})-((\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{e})\vec{e})\cdot ((\vec{a}-\vec{q})-((\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{e})\vec{e})$$ (153)

$$= (\vec{a}-\vec{q})\cdot(\vec{a}-\vec{q})- 2((\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{e})^2+ ((\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{e})^2\vec{e}\cdot\vec{e}$$ (154)

$$= \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- ((\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{e})^2$$ (155)

$$= \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \frac{((\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{p})^2}{\Vert\vec{p}\Vert^2}$$ (156)

より得られる．

例 1.136 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   点 $A(0,2,1)$ と直線 $\vec{x}(t)=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ との 距離を考える．

$$\Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2=6$$ (157)

であるから，距離は

$$\sqrt{ \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \frac{(\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q}))^2}{\Vert\vec{p}\Vert^2}}= \sqrt{6-\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{35}{6}}$$ (158)

である．

例 1.137 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   点 $A(0,2,1)$ と直線 $\vec{x}(t)=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ との 距離を考える． 点 $A$ から直線への正射影を $B(\vec{b})$ とする．

$$\vec{b}=\vec{q}+ \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})} {\Vert\vec{p}\Vert^2} \vec{p}$$ (159)

であるから，

$$\vec{a} = \begin{bmatrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}= \begi... ...bmatrix}\,,\quad \vec{a}-\vec{q}= \begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\,,$$ (160)

$$\Vert\vec{p}\Vert^2=6\,,\quad \vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})=1$$ (161)

より，

$$\vec{b}= \vec{q}+ \frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{q})}{\Vert\vec{... ...\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}8 \\ 17 \\ -5 \end{bmatrix}$$ (162)

である．点 $A(0,2,1)$ と点 $B(8/6,17/6,-5/6)$ との距離が 点 $A$ と直線の距離であるから，

$$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}= \f... ...\\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}8 \\ 5 \\ -11 \end{bmatrix}$$ (163)

より

$$\overline{AB}= \frac{\sqrt{8^2+5^2+(-11)^2}}{6}= \frac{\sqrt{64+25+121}}{6}= \frac{\sqrt{210}}{6}= \sqrt{\frac{35}{6}}$$ (164)

である．

平成20年2月2日