1.25 点と直線との距離
定義 1.130 (点と直線との距離)空間内の点
と直線
を考える. 点
と
上の点
との距離が最小となるとき, その距離を点と直線との距離という.
定理 1.131 (点と直線との距離)空間内の 点
と直線
を考える. 点
と
上の点
との距離が最小となるのは, 直線
と直線
が直交するときである.
問 1.132 (点と直線との距離) これを示せ.(証明) 点
,
とする. 点
を直線
上の点とする. すなわち
とおく. 点
と
の距離を考える.
(143) (144) (145) (146)
よりのとき 最小値
(147)
をとる. このとき
(148) (149)
が成り立つ.と
とは直交する.
は直線
の方向ベクトルであり,
は直線
の方向ベクトルである. よって距離が最小になるとき直線
と直線
は直交する.
例 1.133 (点と直線の距離) 点,
,
において, 点
と直線
を考える. 点
から直線
への正射影は
であるら,距離は
より求まる.
定理 1.134 (点と直線の距離)空間内の 点
と直線
との距離は
(150)
である.
問 1.135 (点と直線の距離) これを示せ.(証明その1) 問
の証明より
のとき 点と直線の距離であるから, (
)より明らか.
(証明その2) 点
の直線
への正射影
を考える. このとき
(151)
である. ここでは直線の単位方向ベクトルであり
となることに注意する. 点
,
との距離は
(152) (153) (154) (155) (156)
より得られる.
例 1.136 (内の点と直線の距離) 点
と直線
との 距離を考える.
(157)
であるから,距離は
(158)
である.
例 1.137 (内の点と直線の距離) 点
と直線
との 距離を考える. 点
から直線への正射影を
とする.
(159)
であるから,
(160) (161)
より,
(162)
である.点と点
との距離が 点
と直線の距離であるから,
(163)
より
(164)
である.
平成20年2月2日