1.26 $ \mathbb{R}^3$ における点と直線との距離

定理 1.138 (点と直線の距離)   $ \mathbb{R}^{3}$ 空間内の 点 $ A(\vec{a})$ と直線 $ \vec{x}(t)=\vec{q}+t\vec{p}$ との距離は

$\displaystyle \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}$ (165)

である.

1.139 ( $ \mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   これを示せ.

(証明その1) 距離 $ \overline{AB}$

$\displaystyle \overline{AB}^2$ $\displaystyle = \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\...
...\vec{a}-\vec{q})- \frac{(\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{p}))^2}{\vec{p}\cdot\vec{p}}$ (166)
  $\displaystyle = \frac{(\vec{p}\cdot\vec{p})(\vec{a}-\vec{q})\cdot(\vec{a}-\vec{...
...p}\cdot(\vec{a}-\vec{p}))((\vec{a}-\vec{p})\cdot\vec{p})} {\vec{p}\cdot\vec{p}}$ (167)

となる. ここで

$\displaystyle (\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})= (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})- (\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$ (168)

を用いると

$\displaystyle \overline{AB}^2$ $\displaystyle = \frac{(\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q}))\cdot (\vec{p}\times(\vec...
...ec{p}}= \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2} {\Vert\vec{p}\Vert^2}$ (169)

となり定理を得る.

(証明その2) $ 3$ $ X(\vec{x})$, $ Q(\vec{q})$, $ A(\vec{a})$ からなる 三角形 $ AQX$ を考える. 三角形の面積は外積の定義より

$\displaystyle S=\frac{1}{2} \Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert$ (170)

と表される.また点 $ A$ と直線の距離を $ h$ とする. このとき $ h$ は三角形 $ AQX$ の高さを意味する. よって

$\displaystyle S=\frac{1}{2}h\Vert\vec{p}\Vert$ (171)

が成り立つ. 以上より

$\displaystyle h= \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}$ (172)

を得る.

1.140 (点と直線の距離)   点 $ A(1,0,2)$, $ B(0,2,3)$, $ C(1,2,-1)\in\mathbb{R}^{3}$ において, 点 $ C$ と直線 $ AB$ を考える. 三角形 $ \triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\Vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\Vert$    

である.また,点 $ C$ と直線 $ AB$ の距離を $ h$ とすると

$\displaystyle S=\frac{1}{2}h\Vert\overrightarrow{AB}\Vert$    

とも表される.よって距離は

$\displaystyle h=\frac{\Vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\Vert}{\Vert\overrightarrow{AB}\Vert}$    

により定まる. よって,

  $\displaystyle \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{bmatrix}-1 \...
...\\ 2 & 2 \end{vmatrix} \vec{e}_3 = \begin{bmatrix}-8 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \Vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\Vert=\sqrt{77}, \qquad \Vert\overrightarrow{AB}\Vert=\sqrt{6}$    

より,距離は

$\displaystyle h=\sqrt{\frac{77}{6}}$    

より求まる.

1.141 ( $ \mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   点 $ A(0,2,1)$ と直線 $ \vec{x}(t)=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ との 距離を考える.

$\displaystyle \vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})= \begin{bmatrix}-1 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}\,,\quad \Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2=35$ (173)

より,距離は

$\displaystyle \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}= \sqrt{\frac{35}{6}}$ (174)

である.


平成20年2月2日