4.4 行列式の定義

定義 4.38 (行列式)   $n$ 次正方行列 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ に対して

$$\det(A) = \sum_{\sigma\in S_{n}} \mathrm{sgn}\,(\sigma)\, a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n,\sigma(n)}$$ (673)

を $A$ の行列式（determinant）という． $A$ の行列式はまた

$$\vert A\vert,\quad \vert a_{ij}\vert,\quad \det \begin{bmatrix}a_... ... & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ (674)

と書き表す．

例 4.39 (行列式の具体例)   $n=1$ のとき，

$$S_{1} =\{ \underset{\text{偶}}{\epsilon} \}$$ (675)

より，行列式は

$$\det(A) = \sum_{\sigma\in S_{1}}\mathrm{sgn}\,(\sigma)a_{1,\sigma(1)}= \u... ...set{\sigma=\varepsilon}{\mathrm{sgn}\,(\sigma)\cdot a_{1,\sigma(1)}} =a_{11}\,.$$ (676)

$n=2$ のとき，

$$S_{2} =\{ \underset{\text{偶}}{\epsilon},\, \underset{\text{奇}}{(1\,\,\, 2)} \}$$ (677)

より， 行列式は

$$\det(A) = \sum_{\sigma\in S_{2}}\mathrm{sgn}\,(\sigma)a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}$$ (678)

$$= \underset{\sigma=\varepsilon} {\mathrm{sgn}\,(\sigma)\cdot a_{1... ...\sigma=(1\,\,\,2)} {\mathrm{sgn}\,(\sigma)\cdot a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}}$$ (679)

$$= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\,.$$ (680)

$n=3$ のとき，

$$S_{3} =\{ \underset{\text{偶}}{\varepsilon},\, \underset{\text{奇}}{(1\... ...set{\text{偶}}{(1\,\,\,2\,\,\,3)},\, \underset{\text{偶}}{(1\,\,\,3\,\,\,2)} \}$$ (681)

より，行列式は

$$\det(A) = \sum_{\sigma\in S_{2}}\mathrm{sgn}\,(\sigma) a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}a_{3,\sigma(3)}$$ (682)

$$= a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32} +a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\,.$$ (683)

問 4.40 (行列式の具体例)   $4$ 次の行列式を定義に従い書き下せ．

注意 4.41 (サルスの方法)   $3$ 次の行列式まではサルスの方法により 符合が簡単に定まる． 右斜め下向きの組合わせでは正をとり， 左斜め下向きの組合わせでは負となる． $4$ 次以上の行列式ではこのルールは適用できない．

$$\begin{vmatrix}a_{11} \end{vmatrix}= a_{11}\,.$$ (684)

$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\,.$$ (685)

$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2... ...a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\,.$$ (686)

注意 4.42 (行列式の計算)   置換 $(1,2,3)$ を一組ずつ互換をとると，

偶		奇		偶
$(1,2,3)$	$\cdots$	$(1,3,2)$
	$\ddots$	$(2,1,3)$	$\cdots$	$(2,3,1)$
	$\ddots$	$(3,2,1)$	$\cdots$	$(3,1,2)$

置換 $(1,2,3,4)$ を一組ずつ互換をとると，

偶		奇		偶		奇
$(1,2,3,4)$	$\cdots$	$(1,2,4,3)$
	$\ddots$	$(1,3,2,4)$	$\cdots$	$(1,3,4,2)$
	$\ddots$	$(1,4,3,2)$	$\cdots$	$(1,4,2,3)$
	$\ddots$	$(2,1,3,4)$	$\cdots$	$(2,1,4,3)$
			$\ddots$	$(2,3,1,4)$	$\cdots$	$(2,3,4,1)$
			$\ddots$	$(2,4,3,1)$	$\cdots$	$(2,4,1,3)$
	$\ddots$	$(3,2,1,4)$	$\cdots$	$(3,1,2,4)$	$\cdots$	$(3,1,4,2)$
			$\ddots$	$(3,2,4,1)$
			$\ddots$	$(3,4,1,2)$	$\cdots$	$(3,4,2,1)$
	$\ddots$	$(4,2,3,1)$	$\cdots$	$(4,1,3,2)$	$\cdots$	$(4,1,2,3)$
			$\ddots$	$(4,2,1,3)$
			$\ddots$	$(4,3,2,1)$	$\cdots$	$(4,3,1,2)$

平成20年2月2日