5.7 一般の線形変換の固有値と固有空間

定義 5.18 (一般の線形変換の固有多項式)   ベクトル空間 $ V$ の基底を $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ とする. この基底における線形変換 $ f:V\to V$ の表現行列を $ A$ とする. すなわち,

$\displaystyle \left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n)\right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)A$    

とする. このとき行列 $ A$ の固有多項式 $ g_A(t)$線形変換 $ f$ の固有多項式といい, $ g_f(t)$ と表記する.

定理 5.19 (一般の線形変換の固有多項式)   線形変換 $ f$ の固有多項式 $ g_f(t)$ は 基底の取り方に依存しない.


(証明)     基底を取り換えて表現行列が $ A$$ B$ にかわるととする. このとき基底の変換行列を $ P$ とすると

$\displaystyle B=P^{-1}AP$    

が成り立つ.これを用いて

$\displaystyle g_B(t)$ $\displaystyle = \det(tE-B)= \det(tE-P^{-1}AP)= \det(tP^{-1}EP-P^{-1}AP)= \det(P^{-1}(tE-A)P)$    
  $\displaystyle = \det(P^{-1})\det(tE-A)\det(P)= \det(P^{-1})\det(P)\det(tE-A)$    
  $\displaystyle = \frac{1}{\det(P)}\det(P)\det(tE-A)= \det(tE-A)= g_A(t)$    

を得る.

定理 5.20 (一般の線形変換の固有値)  

$ \lambda$ は線形変換 $ f$ の固有値$\displaystyle \qquad\Leftrightarrow\qquad g_f(\lambda)=0$    


(証明)     基底を $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ とし, 固有値を $ \lambda$,固有ベクトルを $ \vec{u}$ とする. このとき

  $\displaystyle f(\vec{u})=\lambda\vec{u} \quad\Leftrightarrow\quad f(c_1\vec{u}_1+\cdots+c_n\vec{u}_n) = \lambda(c_1\vec{u}_1+\cdots+c_n\vec{u}_n)$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad c_1f(\vec{u}_1)+\cdots+c_nf(\vec{u}_n) ...
..., \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\begin{bmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\...
...end{bmatrix} = \lambda \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\vec{c}$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\...
...ght)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)(\lambda\vec{c})$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u...
...c{u}_n\right)(\lambda\vec{c}) \quad\Leftrightarrow\quad A\vec{c}=\lambda\vec{c}$    

となる. よって $ f$ の固有値と行列 $ A$ の固有値は等しい.


平成20年2月2日