5.7 一般の線形変換の固有値と固有空間

定義 5.18 (一般の線形変換の固有多項式)   ベクトル空間 $V$ の基底を $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ とする． この基底における線形変換 $f:V\to V$ の表現行列を $A$ とする． すなわち，

$$\left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n)\right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)A$$

とする． このとき行列 $A$ の固有多項式 $g_A(t)$ を 線形変換 $f$ の固有多項式といい， $g_f(t)$ と表記する．

定理 5.19 (一般の線形変換の固有多項式)   線形変換 $f$ の固有多項式 $g_f(t)$ は 基底の取り方に依存しない．

（証明）     基底を取り換えて表現行列が $A$ か $B$ にかわるととする． このとき基底の変換行列を $P$ とすると

$$B=P^{-1}AP$$

が成り立つ．これを用いて

$$g_B(t) = \det(tE-B)= \det(tE-P^{-1}AP)= \det(tP^{-1}EP-P^{-1}AP)= \det(P^{-1}(tE-A)P)$$

$$= \det(P^{-1})\det(tE-A)\det(P)= \det(P^{-1})\det(P)\det(tE-A)$$

$$= \frac{1}{\det(P)}\det(P)\det(tE-A)= \det(tE-A)= g_A(t)$$

を得る．

定理 5.20 (一般の線形変換の固有値)  

$$\lambda f \qquad\Leftrightarrow\qquad g_f(\lambda)=0$$

（証明）     基底を $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ とし， 固有値を $\lambda$，固有ベクトルを $\vec{u}$ とする． このとき

$$f(\vec{u})=\lambda\vec{u} \quad\Leftrightarrow\quad f(c_1\vec{u}_1+\cdots+c_n\vec{u}_n) = \lambda(c_1\vec{u}_1+\cdots+c_n\vec{u}_n)$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad c_1f(\vec{u}_1)+\cdots+c_nf(\vec{u}_n) ... ..., \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\begin{bmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\... ...end{bmatrix} = \lambda \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\vec{c}$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\... ...ght)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)(\lambda\vec{c})$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u... ...c{u}_n\right)(\lambda\vec{c}) \quad\Leftrightarrow\quad A\vec{c}=\lambda\vec{c}$$

となる． よって $f$ の固有値と行列 $A$ の固有値は等しい．

平成20年2月2日