5.9 固有多項式とトレース

定義 5.24 (トレース)   行列 $ A=[a_{ij}]_{n\times n}$ に対して

$\displaystyle \mathrm{tr\,}(A)= \sum_{k=1}^{n}a_{kk}= a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$    

$ A$トレース(trace)という.

定理 5.25 (固有多項式とトレース)   行列 $ A=[a_{ij}]_{n\times n}$ の 固有値が $ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ であるとする. このとき,

  $\displaystyle \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\mathrm{tr\,}(A), \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=\det(A)$    

が成り立つ.


(証明)     固有値は $ \lambda_1$, $ \cdots$, $ \lambda_n$ であるから,

$\displaystyle g_A(\lambda)$ $\displaystyle = \det(\lambda E-A)= (\lambda-\lambda_1) (\lambda-\lambda_2) \cdots (\lambda-\lambda_n)$    
  $\displaystyle = \lambda^n- (\lambda_1\!+\!\lambda_2\!+\!\cdots\!+\!\lambda_n)\lambda^{n-1}+ \cdots+(-1)^n(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n)$    

が成り立つ. 一方,

  $\displaystyle \det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda-a_{11}\! & \!-a_{12}\! ...
...\! & \!\vdots \\ -a_{n1}\! & \!-a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!-a_{nn} \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn}\,\sigma\, (\lambda\delta_{1k_...
..._{1k_1}) (\lambda\delta_{2k_1}-a_{2k_2}) \cdots (\lambda\delta_{nk_1}-a_{nk_n})$    
  $\displaystyle = \lambda^n \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}\,\sigma \left(\gamma^{1,2,\cdots,n}_{k_1k_2\cdots k_n}\right)$    
  $\displaystyle \qquad- \lambda^{n-1} \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}\,\sigma \l...
...ots k_n}+ \cdots+ a_{nk_n}\gamma^{1,2,\cdots,n-1}_{k_2k_3\cdots k_{n-1}}\right)$    
  $\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots+ (-1)^{n} \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}\,\sigma (a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n})$    
  $\displaystyle = \lambda^{n}-\lambda^{n-1}(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})+\cdots+ (-1)^{n}\det(A)$    

が成り立つ.ここで,

$\displaystyle \gamma^{i,k,m,\cdots}_{j,l,n\cdots}= \delta_{i,j}\delta_{k,l}\delta_{m,n}\cdots$    

とおいた. 以上より $ \mathrm{tr\,}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$, $ \det(A)=\lambda_1\cdots\lambda_n$ を得る.

注意 5.26 (固有多項式)   $ A$ の固有多項式は

$\displaystyle g_A(t)= t^n- \mathrm{tr\,}(A)\,t^{n-1}+$   ○$\displaystyle t^{n-2}+ \cdots+$   △$\displaystyle t^2+$   □$\displaystyle t+ \det(A)$    

と表される.


平成20年2月2日