5.9 固有多項式とトレース

定義 5.24 (トレース)   行列 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ に対して

$$\mathrm{tr\,}(A)= \sum_{k=1}^{n}a_{kk}= a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$$

を $A$ のトレース（trace）という．

定理 5.25 (固有多項式とトレース)   行列 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ の 固有値が $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ であるとする． このとき，

$$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\mathrm{tr\,}(A), \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=\det(A)$$

が成り立つ．

（証明）     固有値は $\lambda_1$, $\cdots$, $\lambda_n$ であるから，

$$g_A(\lambda) = \det(\lambda E-A)= (\lambda-\lambda_1) (\lambda-\lambda_2) \cdots (\lambda-\lambda_n)$$

$$= \lambda^n- (\lambda_1\!+\!\lambda_2\!+\!\cdots\!+\!\lambda_n)\lambda^{n-1}+ \cdots+(-1)^n(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n)$$

が成り立つ． 一方，

$$\det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda-a_{11}\! & \!-a_{12}\! ... ...\! & \!\vdots \\ -a_{n1}\! & \!-a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!-a_{nn} \end{vmatrix}$$

$$= \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn}\,\sigma\, (\lambda\delta_{1k_... ..._{1k_1}) (\lambda\delta_{2k_1}-a_{2k_2}) \cdots (\lambda\delta_{nk_1}-a_{nk_n})$$

$$= \lambda^n \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}\,\sigma \left(\gamma^{1,2,\cdots,n}_{k_1k_2\cdots k_n}\right)$$

$$\qquad- \lambda^{n-1} \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}\,\sigma \l... ...ots k_n}+ \cdots+ a_{nk_n}\gamma^{1,2,\cdots,n-1}_{k_2k_3\cdots k_{n-1}}\right)$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots+ (-1)^{n} \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}\,\sigma (a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n})$$

$$= \lambda^{n}-\lambda^{n-1}(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})+\cdots+ (-1)^{n}\det(A)$$

が成り立つ．ここで，

$$\gamma^{i,k,m,\cdots}_{j,l,n\cdots}= \delta_{i,j}\delta_{k,l}\delta_{m,n}\cdots$$

とおいた． 以上より $\mathrm{tr\,}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$, $\det(A)=\lambda_1\cdots\lambda_n$ を得る．

注意 5.26 (固有多項式)   $A$ の固有多項式は

$$g_A(t)= t^n- \mathrm{tr\,}(A)\,t^{n-1}+ t^{n-2}+ \cdots+ t^2+ t+ \det(A)$$

と表される．

平成20年2月2日