5.22 正規行列

定義 5.58 (共役行列)   行列 $ A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して $ \overline{A}=\begin{bmatrix}\overline{a_{ij}}\end{bmatrix}$ と定義する.

定義 5.59 (共役転置行列)   行列 $ A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して 共役転置行列 $ A^{*}={(\overline{A})}^{T}=\overline{{A}^{T}}$ と定義する.

定義 5.60 (正規行列)   正方行列 $ A$

$\displaystyle AA^{*}=A^{*}A$    

をみたすとき $ A$正規行列(normal matrix)という.

5.61 (正規行列)   正規行列には次のものがある:

定理 5.62 (正規行列の固有値)   $ \lambda$, $ \vec{p}$ が正規行列 $ A$ の 固有値とその固有ベクトルであるとき, $ \overline{\lambda}$, $ \vec{p}$$ A^{*}$ の固有値と その固有ベクトルとなる.


(証明)    

  $\displaystyle \Vert A^{*}\vec{p}-\overline{\lambda}\vec{p}\Vert^2= \left({A^{*}...
...ight)+ \left({\overline{\lambda}\vec{p}}\,,\,{\overline{\lambda}\vec{p}}\right)$    
  $\displaystyle = \left({\vec{p}}\,,\,{AA^{*}\vec{p}}\right)- \lambda\left({\vec{...
...{\vec{p}}\right)+ \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)$    
  $\displaystyle = \left({\vec{p}}\,,\,{A^{*}A\vec{p}}\right)- \lambda\left({\vec{...
...{\vec{p}}\right)+ \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)$    
  $\displaystyle = \left({A\vec{p}}\,,\,{A\vec{p}}\right)- \lambda\overline{\lambd...
...{\vec{p}}\right)+ \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)$    
  $\displaystyle = \left({\lambda\vec{p}}\,,\,{\lambda\vec{p}}\right)- \lambda\ove...
...vec{p}}\right)- \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)=0$    

より $ A^{*}\vec{p}=\overline{\lambda}\vec{p}$ を得る.

定理 5.63 (正規行列の固有ベクトル)   正規行列の相異なる固有ベクトルは直交する.


(証明)     固有値 $ \lambda$, $ \mu$ ( $ \lambda\neq\mu$) の固有ベクトルを $ \vec{u}$, $ \vec{v}$ とする. このとき $ A\vec{u}=\lambda\vec{u}$, $ A\vec{v}=\mu\vec{v}$ である. これと $ A^{*}\vec{v}=\overline{\mu}\vec{v}$ より

$\displaystyle \lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\lambda\vec{u...
...u}}\,,\,{\overline{\mu}\vec{v}}\right)= \mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$    

が成り立つ.よって $ (\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ であり, $ \lambda\neq\mu$ であるから, $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る.


平成20年2月2日