5.22 正規行列
定義 5.58 (共役行列) 行列に対して
と定義する.
定義 5.59 (共役転置行列) 行列に対して 共役転置行列を
と定義する.
定義 5.60 (正規行列) 正方行列が
をみたすときを正規行列(normal matrix)という.
例 5.61 (正規行列) 正規行列には次のものがある:
- 対称行列
![]()
![]()
- 歪対称行列
![]()
![]()
- エルミート行列
![]()
![]()
- 歪エルミート行列
![]()
![]()
- 直交行列
![]()
![]()
- ユニタリー行列
![]()
![]()
定理 5.62 (正規行列の固有値),
が正規行列
の 固有値とその固有ベクトルであるとき,
,
は
の固有値と その固有ベクトルとなる.
(証明)
よりを得る.
定理 5.63 (正規行列の固有ベクトル) 正規行列の相異なる固有ベクトルは直交する.
(証明) 固有値
,
(
) の固有ベクトルを
,
とする. このとき
,
である. これと
より
が成り立つ.よってであり,
であるから,
を得る.
平成20年2月2日