5.22 正規行列

定義 5.58 (共役行列)   行列 $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して $\overline{A}=\begin{bmatrix}\overline{a_{ij}}\end{bmatrix}$ と定義する．

定義 5.59 (共役転置行列)   行列 $A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ に対して 共役転置行列を $A^{*}={(\overline{A})}^{T}=\overline{{A}^{T}}$ と定義する．

定義 5.60 (正規行列)   正方行列 $A$ が

$$AA^{*}=A^{*}A$$

をみたすとき $A$ を正規行列（normal matrix）という．

例 5.61 (正規行列)   正規行列には次のものがある：

• 対称行列 $\quad\Leftrightarrow\quad$ ${A}^{T}=A$
• 歪対称行列 $\quad\Leftrightarrow\quad$ $-{A}^{T}=A$
• エルミート行列 $\quad\Leftrightarrow\quad$ $A^{*}=A$
• 歪エルミート行列 $\quad\Leftrightarrow\quad$ $-A^{*}=A$
• 直交行列 $\quad\Leftrightarrow\quad$ ${A}^{T}A=A{A}^{T}=E$
• ユニタリー行列 $\quad\Leftrightarrow\quad$ $A^{*}A=AA^{*}=E$

定理 5.62 (正規行列の固有値)   $\lambda$, $\vec{p}$ が正規行列 $A$ の 固有値とその固有ベクトルであるとき， $\overline{\lambda}$, $\vec{p}$ は $A^{*}$ の固有値と その固有ベクトルとなる．

（証明）    

$$\Vert A^{*}\vec{p}-\overline{\lambda}\vec{p}\Vert^2= \left({A^{*}... ...ight)+ \left({\overline{\lambda}\vec{p}}\,,\,{\overline{\lambda}\vec{p}}\right)$$

$$= \left({\vec{p}}\,,\,{AA^{*}\vec{p}}\right)- \lambda\left({\vec{... ...{\vec{p}}\right)+ \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)$$

$$= \left({\vec{p}}\,,\,{A^{*}A\vec{p}}\right)- \lambda\left({\vec{... ...{\vec{p}}\right)+ \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)$$

$$= \left({A\vec{p}}\,,\,{A\vec{p}}\right)- \lambda\overline{\lambd... ...{\vec{p}}\right)+ \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)$$

$$= \left({\lambda\vec{p}}\,,\,{\lambda\vec{p}}\right)- \lambda\ove... ...vec{p}}\right)- \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{p}}\,,\,{\vec{p}}\right)=0$$

より $A^{*}\vec{p}=\overline{\lambda}\vec{p}$ を得る．

定理 5.63 (正規行列の固有ベクトル)   正規行列の相異なる固有ベクトルは直交する．

（証明）     固有値 $\lambda$, $\mu$ ( $\lambda\neq\mu$) の固有ベクトルを $\vec{u}$, $\vec{v}$ とする． このとき $A\vec{u}=\lambda\vec{u}$, $A\vec{v}=\mu\vec{v}$ である． これと $A^{*}\vec{v}=\overline{\mu}\vec{v}$ より

$$\lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\lambda\vec{u... ...u}}\,,\,{\overline{\mu}\vec{v}}\right)= \mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$$

が成り立つ．よって $(\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ であり， $\lambda\neq\mu$ であるから， $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る．

平成20年2月2日