5.21 演習問題 〜 行列の対角化

問 5.57 (対角化)   次の行列 $A$ を対角化せよ．また $A^k$ を求めよ．

    (1)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$     (2)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}}$$     (3)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}}$$     (4)   $${ \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}}$$     (5)   $${ \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}}$$     (6)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}}$$
    (7)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (8)   $${ \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{bmatrix}}$$     (9)   $${ \begin{bmatrix} 4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2 \end{bmatrix}}$$     (10)   $${ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}}$$     (11)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}}$$
    (12)   $${ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}}$$     (13)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}$$     (14)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$     (15)   $${ \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}}$$     (16)   $${ \begin{bmatrix} 13 & -30 \\ 5 & -12 \end{bmatrix}}$$
    (17)   $${ \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (18)   $${ \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (19)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}}$$     (20)   $${ \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}}$$     (21)   $${ \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}}$$
    (22)   $${ \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}}$$     (23)   $${ \begin{bmatrix} 1 & i \\ 0 & i \end{bmatrix}}$$     (24)   $${ \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 13 & -3 \end{bmatrix}}$$     (25)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}}$$     (26)   $${ \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}}$$
    (27)   $${ \begin{bmatrix} 5 & 6 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}}$$     (28)   $${ \begin{bmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 4 & 5 \end{bmatrix}}$$     (29)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}}$$     (30)   $${ \begin{bmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}}$$
    (31)   $${ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ -3 & 3 & -1 \end{bmatrix}}$$     (32)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}}$$     (33)   $${ \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (34)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{bmatrix}}$$
    (35)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (36)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}}$$     (37)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (38)   $${ \begin{bmatrix} -3 & -9 & -12 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$
    (39)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$     (40)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (41)   $${ \begin{bmatrix} 0 & i & 1 \\ -i & 0 & i \\ 1 & -i & 0 \end{bmatrix}}$$     (42)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}$$     (43)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}}$$
    (44)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (45)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (46)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 5 \end{bmatrix}}$$     (47)   $${ \begin{bmatrix} -5 & 0 & 6 \\ 0 & 7 & 0 \\ 6 & 0 & 4 \end{bmatrix}}$$
    (48)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (49)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (50)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (51)   $${ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}}$$
    (52)   $${ \begin{bmatrix} -1 & -1 & -6 & 3 \\ 1 & -2 & -3 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -5 & 3 \end{bmatrix}}$$     (53)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}$$

平成20年2月2日