5.21 演習問題 〜 行列の対角化

5.57 (対角化)   次の行列 $ A$ を対角化せよ.また $ A^k$ を求めよ.

    (1)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}}$     (2)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & -5
\end{bmatrix}}$     (3)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
3 & 1
\end{bmatrix}}$     (4)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
3 & 7
\end{bmatrix}}$     (5)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{bmatrix}}$     (6)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
3 & -5
\end{bmatrix}}$
    (7)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & -3 \\
1 & 1
\end{bmatrix}}$     (8)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & -1
\end{bmatrix}}$     (9)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
4 & \sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 2
\end{bmatrix}}$     (10)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 & 2 \\
2 & 2
\end{bmatrix}}$     (11)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 2
\end{bmatrix}}$
    (12)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}}$     (13)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}}$     (14)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}}$     (15)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
7 & -6 \\
3 & -2
\end{bmatrix}}$     (16)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
13 & -30 \\
5 & -12
\end{bmatrix}}$
    (17)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & -3 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}}$     (18)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
4 & -2 \\
1 & 1
\end{bmatrix}}$     (19)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0
\end{bmatrix}}$     (20)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & i \\
i & 0
\end{bmatrix}}$     (21)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 & 4 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}}$
    (22)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
4 & -3 \\
2 & -1
\end{bmatrix}}$     (23)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & i \\
0 & i
\end{bmatrix}}$     (24)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 & -1 \\
13 & -3
\end{bmatrix}}$     (25)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 3
\end{bmatrix}}$     (26)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 & 3 \\
-4 & -2
\end{bmatrix}}$
    (27)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
5 & 6 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 2
\end{bmatrix}}$     (28)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-3 & -2 & -2 \\
4 & 3 & 2 \\
8 & 4 & 5
\end{bmatrix}}$     (29)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 2
\end{bmatrix}}$     (30)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & -2 & -2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}}$
    (31)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 4 \\
0 & 1 & 4 \\
-3 & 3 & -1
\end{bmatrix}}$     (32)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 \\
-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{bmatrix}}$     (33)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1 \\
0 & 4 & 2 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}}$     (34)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & -3 & 3
\end{bmatrix}}$
    (35)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}}$     (36)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1
\end{bmatrix}}$     (37)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}}$     (38)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-3 & -9 & -12 \\
1 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}}$
    (39)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}}$     (40)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}}$     (41)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 & i & 1 \\
-i & 0 & i \\
1 & -i & 0
\end{bmatrix}}$     (42)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}}$     (43)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix}}$
    (44)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}}$     (45)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}}$     (46)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & -2 \\
-2 & -2 & 5
\end{bmatrix}}$     (47)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-5 & 0 & 6 \\
0 & 7 & 0 \\
6 & 0 & 4
\end{bmatrix}}$
    (48)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
0 & -2 & -1 \\
3 & -1 & 1
\end{bmatrix}}$     (49)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}}$     (50)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 1 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{bmatrix}}$     (51)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 2 & -4 \\
2 & 3 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 2 & -1 \\
2 & 2 & 2 & -1
\end{bmatrix}}$
    (52)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -6 & 3 \\
1 & -2 & -3 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & -5 & 3
\end{bmatrix}}$     (53)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 5 & 4 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{bmatrix}}$


平成20年2月2日