5.20 対角化と座標変換

線形変換 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$;

$$( )\qquad \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$$

において， 行列 $A$ は対角化可能であるとすると，

$$D=P^{-1}AP$$

と書ける． 両辺に左から $P$ を掛け，右からから $P^{-1}$ を掛けると

$$A=PDP^{-1}$$

となる． これを(☆)へ代入すると

$$\vec{y}=PDP^{-1}\vec{x} \qquad\Rightarrow\qquad P^{-1}\vec{y}=DP^{-1}\vec{x}$$

となる．ここで

$$( )\qquad \vec{x}'=P^{-1}\vec{x}, \quad \vec{y}'=P^{-1}\vec{y} \qquad\Leftrightarrow\qquad \vec{x}=P\vec{x}', \quad \vec{y}=P\vec{y}'$$

とおくと，

$$( )\qquad \vec{y}'=D\vec{x}'$$

を得る． (♭)は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{bmatrix}= P\vec{x}'$$

$$x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots+x_n\vec{e}_n = x_1'\vec{p}_1+x_2'\vec{p}_2+\cdots+x_n'\vec{p}_n$$

と表されるので， (♭)は 標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\}$ における座標 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)_{\Sigma}$ と 基底 $\Sigma'=\{\vec{p}_1,\vec{p}_2,\cdots,\vec{p}_n\}$ における座標 $(x_1',x_2',\cdots,x_n')_{\Sigma'}$ との 座標変換とみなせる． $\vec{y}$, $\vec{y}'$ についても同様である． よって(★)は 固有ベクトル $\vec{p}_j$ を基底とするあらたな座標系における 線形変換 $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n;\vec{x}'\mapsto\vec{y}'$ であり，あらためて成分で書くと

$$\begin{bmatrix}y_1' \\ y_2' \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} = \beg... ...ots \\ \lambda_n\,x_n' \end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad y_j'=\lambda_j\,x_j'$$

となる． 各座標 $x_j$ が独立して， スカラー倍される単純な変換 $x'_j\mapsto\lambda_jx_j'$ とみなされる．

平成20年2月2日