5.19 ちょっとまとめ

注意 5.55 (複素体上の対角化)   複素数体上の場合でも対角化の手順は同じである． 行列 $A$ の固有値が $\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{C}$ であり， 固有ベクトルが $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n\in\mathbb{C}^n$ のとき， $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ が 1 次独立であれば，

$$D=P^{-1}AP, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

と対角化可能である．

まとめ 5.56 (対角化)   $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を重複は別のものとして $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ とする． この固有値に属する固有ベクトルをそれぞれ $\vec{p}_1,\vec{p}_2,\cdots,\vec{p}_n$ とする． また，重複する固有値を同じものとして $\tilde{\lambda}_1,\tilde{\lambda}_2,\cdots,\tilde{\lambda}_r$ ($r\leq n$) とする． $f$ は線形変換 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n;\vec{y}=A\vec{x}$ とする．

(1)

$\vec{p}_1,\vec{p}_2,\cdots,\vec{p}_n$ が 1 次独立のとき． すなわち， $${\sum_{i=1}^{r}\dim(W(\tilde{\lambda}_i;f))=n}$$ のとき．

(i)

$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{R}$ のとき．

(a)

実数体上で対角化可能である．

(ii)

$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{C}$ のとき．

(b)

複素数体上で対角化可能である．

(c)

実数体上では対角化不可能である． しかし，実標準形には分解可能である．

(2)

$\vec{p}_1,\vec{p}_2,\cdots,\vec{p}_n$ が 1 次従属のとき． すなわち， $${\sum_{i=1}^{r}\dim(W(\tilde{\lambda}_i;f))<n}$$ のとき．

(d)

行列 $A$ は対角化不可能である． しかし，ジョルダン標準形には分解可能である．

平成20年2月2日