5.18 対角化可能ではいない行列

例 5.53 (対角化できない場合の具体例) 行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 \\ 0 &-1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

を対角化する．

まず，行列の固有多項式は

$\displaystyle g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-1 & -3 & -2 \\ 0 & t+1 & 0 \\ -1 & -2 & t \end{vmatrix} = (t+1)^2(t-2)$

であるから， $g_A(\lambda)=0$ より固有値は $\lambda=2,\,\,-1\,($ 2 重 となる． $\lambda=2$ のとき，

$\displaystyle 2E-A= \begin{bmatrix}1 &-3 &-2 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 &-2 & 2 \end{bm... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 &-2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

となるので， $(2E-A)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて固有ベクトルは

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}2x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{b... ...matrix} = c \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_1 \qquad(c\neq0)$

と得られる． $\lambda=-1$ のとき，

$\displaystyle -E-A= \begin{bmatrix}-2 &-3 &-2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 &-2 &-1 \end{b... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

となるので， $(-E-A)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて固有ベクトルは

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}-x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{b... ...atrix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_2 \qquad(c\neq0)$

と得られる．

行列を対角化する．重複する固有値は別のものとして考えて，三つの固有値を $\lambda_1=2$ , $\lambda_2=-1$ , $\lambda_3=-1$ とおく．それぞれの固有値に属する固有ベクトルを

$\displaystyle \vec{p}_1= \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{... ...\vec{p}_3= \alpha\vec{p}_2= \begin{bmatrix}-\alpha \\ 0 \\ \alpha \end{bmatrix}$

と選ぶ．このとき同じ固有値 $\lambda=-1$ に属する固有ベクトルは 1 次独立となるように選びたい．しかしながら，固有空間は次元であり， 1 次独立な 2 本のベクトルを選ぶことはできない．そのため行列

$\displaystyle P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \vec{p}_3 \end{bmatrix}$

は正則とはならない．なぜなら

$\displaystyle \det(P)= \begin{vmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \vec{p}_3 \end{vm... ...rix} = \alpha \begin{vmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \vec{p}_2 \end{vmatrix} =0$

となるらかである．以上より行列は対角化できない．

注意 5.54 (固有空間による直和分解) 線形変換 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\vec{y}=A\vec{x}$ の固有空間は

$\displaystyle W(2;f)= \left\{\left.\,{c\,\vec{p}}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathb... ...,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\}= \left\langle \vec{p}_2\right\rangle$

である． $\dim(W(2;f))=1$ , $\dim(W(-1;f))=1$ , $W(2;f)\cap W(-1;f)=\{\vec{0}\}$ となるので，

$\displaystyle W(2;f)\oplus W(-1;f)=\mathbb{R}^2\neq\mathbb{R}^3, \qquad \dim(W(2;f))+\dim(W(-1;f))=2<\dim(\mathbb{R}^3)=3$

が成り立つ．固有空間の和は $\mathbb{R}^2$ とはなるが， $\mathbb{R}^3$ とはならない．このとき行列は対角化できない．