5.17 3 次正方行列の対角化

例 5.49 (対角化の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}5 & 6 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$

を対角化する．

まず，行列 $A$ の固有多項式は

$$g_{A}(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-5 & -6 & 0 \\ 1 & t & 0 \\ -1 & -2 & t-2 \end{vmatrix} =(t-2)^2(t-3)$$

であるから， 固有値は $g_A(\lambda)=0$ より $\lambda=2\,\,($2 重$),\,\,3$ となる． $\lambda=2$ のとき，

$$2E-A= \begin{bmatrix}3 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 &-2 & 0 \end{bm... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

となるので， $(2E-A)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて 固有ベクトルは

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}-2x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begi... ... \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =c_1\vec{p}_1+c_2\vec{p}_2 \qquad(c_1\neq0,\,c_2\neq0)$$

と得られる． $\lambda=3$ のとき，

$$3E-A= \begin{bmatrix}-2 &-6 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 &-2 & 1 \end{b... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 &-3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

となるので， $(3E-A)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて 固有ベクトルは

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}3x_2 \\ -x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begi... ...atrix} = c \begin{bmatrix}3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_3 \qquad(c\neq0)$$

と得られる．

行列 $A$ を対角化する． 重複する固有値は別のものとして考えて， 三つの固有値を $\lambda_1=2$, $\lambda_2=2$, $\lambda_3=3$ とおく． それぞれの固有値に属する固有ベクトルを

$$\vec{p}_1= \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \vec... ...\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{p}_3= \begin{bmatrix}3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

と選ぶ． このとき， 同じ固有値 $\lambda=2$ に属する 固有ベクトル $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$ を選ぶときは， 1 次独立となるよう選ぶ． 以上より，

$$D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)= \begin{bmatrix}... ...d{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

とおくと，行列 $A$ は

$$D=P^{-1}AP$$

と対角化される．

注意 5.50 (対角化の任意性)   $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ の 取り方の順には自由度がある． 固有値の取り方にもスカラー倍の自由度がある． よって $D$, $P$ は一通りに定まるわけではない．

注意 5.51 (固有空間による直和分解)   線形変換 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\vec{y}=A\vec{x}$ の固有空間は

$$W(2;f)= \left\{\left.\,{c_1\vec{p}_1+c_2\vec{p}_2}\,\,\right\vert... ...,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\}= \left\langle \vec{p}_3\right\rangle$$

である． $\dim(W(2;f))=2$, $\dim(W(3;f))=1$, $W(2;f)\cap W(3;f)=\{\vec{0}\}$ となるので，

$$W(2;f)\oplus W(3;f)=\mathbb{R}^3, \qquad \dim(W(2;f))+\dim(W(3;f))=\dim(\mathbb{R}^3)$$

が成り立つ． $\mathbb{R}^3$ は固有空間に直和分解される． $W(2;f)$ の基底は $\{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$， $W(3;f)$ の基底は $\{\vec{p}_3\}$， $\mathbb{R}^3$ の基底は $\{\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\}$ となる．

問 5.52 (固有空間)   固有空間 $W(2;f)$ は原点を通り法線ベクトル $\vec{n}=\vec{p}_1\times\vec{p}_2$ の平面であり， 固有空間 $W(3;f)$ は原点を通り方向ベクトル $\vec{p}_3$ の直線である． 直線と平面のなす角度の最小値を求めよ．

平成20年2月2日