5.16 対角化によるべき行列の計算

例 5.47 (対角化の応用例)   行列 $A$ が

$$D=P^{-1}AP$$

と対角化可能であるとする． このとき，左から $P$ を掛けて，右から $P^{-1}$ を掛けると

$$PDP^{-1}=PP^{-1}APP^{-1} \quad\Rightarrow\quad PDP^{-1}=EAE \quad\Rightarrow\quad PDP^{-1}=A \quad\Rightarrow\quad A=PDP^{-1}$$

となる． これを用いるとべき行列 $A^k$ は

$$A^k = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})$$

$$= PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\cdots (P^{-1}P)DP^{-1}$$

$$= PDEDE\cdots EDP^{-1}$$

$$= PDD\cdots DP^{-1}$$

$$= PD^kP^{-1}$$

と得られる． ここで $D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ おくと， $D^k$ は

$$D^k= \begin{bmatrix}\lambda_1{}^k\! & & & \smash{\lower1.7ex\hbox... ...\\ & & \!\ddots\! \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & \!\lambda_n{}^k \end{bmatrix}$$

と表される． よって

$$A^k=P \begin{bmatrix}\lambda_1{}^k\! & & & \smash{\lower1.7ex\hbo... ...\!\ddots\! \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & \!\lambda_n{}^k \end{bmatrix} P^{-1}$$

となる．

例 5.48 (べき行列の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}8 & -10 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$$

は

$$D=P^{-1}AP, \qquad D= \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix... ... & 1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1}= \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

と対角化される． これより

$$A^k=PD^kP^{-1}= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begi... ...(-1)^k2^{k+1}-2\cdot 3^k \\ (-1)^{k+1}2^k+3^k & (-1)^k2^{k+1}-3^k \end{bmatrix}$$

を得る．

平成20年2月2日