5.25 3 次対称行列の対角化

5.74 (対称行列の対角化の具体例)   対称行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$    

を直交行列で対角化する. $ A$ の固有多項式は

$\displaystyle g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-1 & -2 & 1 \\ -2 & t+2 & -2 \\ 1 & -2 & t-1 \end{vmatrix} =(t-2)^2(t+4)$    

であるから, 固有値は $ g_A(\lambda)=0$ より $ \lambda=2$(2 重),$ -4$ となる.

  $\displaystyle 2E-A= \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end...
...別鷁}}\quad \begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle -4E-A= \begin{bmatrix}-5 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -5 ...
...簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$    

より,$ \lambda=2$ $ \lambda=-4$ に 属する固有ベクトルはそれぞれ

  $\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}2x_2-x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \b...
...x} + c_2 \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1\vec{p}_1+c_2\vec{p}_2,$    
  $\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begi...
... \\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = c \vec{p}_3$    

となる. $ \{\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\}$ は1 次独立であるから, $ P=\begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \vec{p}_3 \end{bmatrix}$ は正則となる. しかし $ P$ は直交行列ではないので, 直交行列となるように固有ベクトルを選び直す.

$\displaystyle \left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=-2\neq0, \quad \left({\v...
...}_1}\,,\,{\vec{p}_3}\right)=0, \quad \left({\vec{p}_2}\,,\,{\vec{p}_3}\right)=0$    

であるから, $ \vec{p}_1\perp\vec{p}_3$, $ \vec{p}_2\perp\vec{p}_3$ となる. $ \vec{p}_1$, $ \vec{p}_2$ をグラム・シュミットの直交化法で 正規直交化し,$ \vec{p}_3$ は正規化すればよい.

$\displaystyle \vec{q}_1$ $\displaystyle = \frac{\vec{p}_1}{\Vert\vec{p}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},$    
$\displaystyle \vec{p}'_2$ $\displaystyle = \vec{p}_2-\left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{q}_1}\right)\vec{q}_1$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \left({\begin{bmatr...
...\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix},$    
$\displaystyle \vec{q}_2$ $\displaystyle = \frac{\vec{p}'_2}{\Vert\vec{p}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{30}} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix},$    
$\displaystyle \vec{q}_3$ $\displaystyle = \frac{\vec{p}_3}{\Vert\vec{p}_3\Vert}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$    

とおくと, $ \left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$($ i,j=1,2,3$) が成り立ち正規直交系となる. 以上より行列 $ A$

  $\displaystyle D=Q^{-1}AQ={Q}^{T}AQ,$    
  $\displaystyle D=\mathrm{diag}\,(2,2,-4)= \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle Q= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \vec{p}_3 \end{bmatrix}...
...frac{2}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{30}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$    

と直交行列 $ Q$ で対角化される.

注意 5.75 (対称行列の固有空間)   線形変換 $ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$; $ \vec{y}=A\vec{x}$ の 固有空間は

$\displaystyle W(2;f)= \left\langle \vec{p}_1,\,\, \vec{p}_2\right\rangle = \lef...
...4;f)= \left\langle \vec{p}_3\right\rangle = \left\langle \vec{q}_3\right\rangle$    

である. $ \dim(W(2;f))=2$, $ \dim(W(-4;f))=1$, $ W(2;f)\cap W(-4;f)=\{\vec{0}\}$ より

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad W(2;f)\oplus W(-4;f)=\mathbb{R}^3, \qquad \dim(W(2;f))+\dim(W(-4;f))=\dim(\mathbb{R}^3)$    

を得る. 固有空間 $ W(2;f)$, $ W(-4;f)$ $ \mathbb{R}^3$ の直和分解である. また, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するので, 固有空間も直交し $ W(2;f)\perp W(-4;f)$ を得る. $ W(2;f)\perp W(-4;f)$ と(☆)より, $ W(2;f)$ $ \mathbb{R}^3$ における $ W(-4;f)$ の直交補空間となる. また逆に $ W(-4;f)$ $ \mathbb{R}^3$ における $ W(2;f)$ の直交補空間となる.


平成20年2月2日