5.26 実標準形

実行列 $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ が複素固有値 $ \lambda$ を もつとき,その複素共役 $ \overline{\lambda}$ も固有値となる. なぜなら,固有多項式 $ g_A(t)$ は実係数であるから, $ g_A(\lambda)=0$ のとき $ g_A(\overline{\lambda})=0$ が成り立つからである. 固有値 $ \lambda$ に属する固有ベクトルを $ \vec{p}$ とすると $ A\vec{p}=\lambda\vec{p}$ である. 複素共役をとると $ A\overline{\vec{p}}=\overline{\lambda}\overline{\vec{p}}$ となるので, $ \overline{\lambda}$ に属する固有値ベクトルは $ \overline{\vec{p}}$ となる. よって

$\displaystyle A\vec{p}=\lambda\vec{p}, \qquad A\overline{\vec{p}}= \overline{\lambda}\overline{\vec{p}}$    

である. これより

  $\displaystyle A\left(\frac{\vec{p}+\overline{\vec{p}}}{2}\right)= \frac{\lambda...
...erline{\lambda}}{2i}\right) \left(\frac{\vec{p}-\overline{\vec{p}}}{2i}\right),$    
  $\displaystyle A\left(\frac{\vec{p}-\overline{\vec{p}}}{2i}\right)= \frac{\lambd...
...overline{\lambda}}{2}\right) \left(\frac{\vec{p}-\overline{\vec{p}}}{2i}\right)$    

が成り立つ. 複素数 $ z$ の実部を $ \displaystyle{\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}}$, 虚部を $ \displaystyle{\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$ とおき, ベクトル $ \vec{v}$ の各要素の実部,虚部をとる操作を $ \mathrm{Re}(\vec{v})=[\mathrm{Re}(v_i)]_{n\times 1}$, $ \mathrm{Im}(\vec{v})=[\mathrm{Re}(v_i)]_{n\times 1}$ とおく. このとき

$\displaystyle A\mathrm{Re}(\vec{v})=\mathrm{Re}(\lambda)\mathrm{Re}(\vec{p})-\m...
...athrm{Im}(\lambda)\mathrm{Re}(\vec{p})+\mathrm{Re}(\lambda)\mathrm{Im}(\vec{p})$    

を得る. $ 2\times2$ の場合では,

$\displaystyle AP=A \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{p}) & \mathrm{Re}(\vec{p}) \...
...rm{Im}(\lambda) \\ \mathrm{Im}(\lambda) & \mathrm{Re}(\lambda) \end{bmatrix}=PD$    

が成り立つ. $ \vec{p}$, $ \overline{\vec{p}}$ が 1 次独立のとき $ P$ は正則となるから, $ D=P^{-1}AP$ と表される.

定理 5.76 (実標準形)   実行列 $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ は 複素数体上で対角化可能であるとする. 固有値を

  $\displaystyle \mathbb{C}\ni\quad \lambda_1,\,\,\lambda_2=\overline{\lambda_1},\...
..._3},\,\, \cdots,\,\, \lambda_{2k-1},\,\,\lambda_{2k}=\overline{\lambda_{2k-1}},$    
  $\displaystyle \mathbb{R}\ni\quad \lambda_{2k+1}, \cdots, \lambda_{n}$    

とし,それに属する固有ベクトルを $ \vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ とする. このとき,行列 $ A$

  $\displaystyle D=P^{-1}AP,$    
  $\displaystyle D= \begin{bmatrix}R(\lambda_1)\!\! \\ [-.8ex] & \!\!R(\lambda_2)\...
...athrm{Im}(\lambda) \\ \mathrm{Im}(\lambda) & \mathrm{Re}(\lambda) \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle P= \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{p}_1)\,\,\mathrm{Re}(\vec{p}_1...
...rm{Re}(\vec{p}_{2k-1}) & \vec{p}_{2k+1} & \cdots & \vec{p}_{2k+1} \end{bmatrix}$    

と実数体上でブロック対角化される. $ D$実標準形(real canonical form???)という.

5.77 (実標準形の具体例)   行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$    

の固有多項式は

$\displaystyle g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-2 & 1 \\ -1 & t-2 \end{vmatrix} =t^2-4t+5$    

であるから, 固有値は $ g_A(\lambda)=0$ より,

$\displaystyle \lambda_1=2+i, \quad \lambda_1=2-i$    

と複素数になる. それぞれの固有ベクトルは

$\displaystyle (2+i)E-A= \begin{bmatrix}i & 1 \\ -1 & i \end{bmatrix} \,\,\xrigh...
...\,\,\xrightarrow{\text{簡約化}}\,\, \begin{bmatrix}1 & i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    

より,

$\displaystyle \vec{x}=c \begin{bmatrix}i \\ 1 \end{bmatrix}= c\vec{p}_1, \qquad \vec{x}=c \begin{bmatrix}-i \\ 1 \end{bmatrix}= c\vec{p}_2$    

となる. よって $ A$ を複素数体上で対角化すると

  $\displaystyle D=P^{-1}AP,$    
  $\displaystyle D=\mathrm{diag}\,(2+i,2-i)= \begin{bmatrix}2+i & 0 \\ 0 & 2-i \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}i & -i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$    

を得る. 次に $ A$ を実数体上で実標準形に分解する. $ \lambda_2=\overline{\lambda_1}$, $ \vec{p}_2=\overline{\vec{v}_1}$ となることに注意すると

  $\displaystyle D=P^{-1}AP,$    
  $\displaystyle D= \begin{bmatrix}\mathrm{Re}(\lambda_1) & -\mathrm{Im}(\lambda_1...
...rm{Re}(\lambda_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle P= \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{p}_1) & \mathrm{Re}(\vec{p}_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$    

を得る. 行列 $ A=D$, $ E=P$ となることから, $ A$ は既に実標準形のかたちをしている.


平成20年2月2日