5.26 実標準形

実行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ が複素固有値 $\lambda$ を もつとき，その複素共役 $\overline{\lambda}$ も固有値となる． なぜなら，固有多項式 $g_A(t)$ は実係数であるから， $g_A(\lambda)=0$ のとき $g_A(\overline{\lambda})=0$ が成り立つからである． 固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルを $\vec{p}$ とすると $A\vec{p}=\lambda\vec{p}$ である． 複素共役をとると $A\overline{\vec{p}}=\overline{\lambda}\overline{\vec{p}}$ となるので， $\overline{\lambda}$ に属する固有値ベクトルは $\overline{\vec{p}}$ となる． よって

$$A\vec{p}=\lambda\vec{p}, \qquad A\overline{\vec{p}}= \overline{\lambda}\overline{\vec{p}}$$

である． これより

$$A\left(\frac{\vec{p}+\overline{\vec{p}}}{2}\right)= \frac{\lambda... ...erline{\lambda}}{2i}\right) \left(\frac{\vec{p}-\overline{\vec{p}}}{2i}\right),$$

$$A\left(\frac{\vec{p}-\overline{\vec{p}}}{2i}\right)= \frac{\lambd... ...overline{\lambda}}{2}\right) \left(\frac{\vec{p}-\overline{\vec{p}}}{2i}\right)$$

が成り立つ． 複素数 $z$ の実部を $${\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}}$$, 虚部を $${\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$$ とおき， ベクトル $\vec{v}$ の各要素の実部，虚部をとる操作を $\mathrm{Re}(\vec{v})=[\mathrm{Re}(v_i)]_{n\times 1}$, $\mathrm{Im}(\vec{v})=[\mathrm{Re}(v_i)]_{n\times 1}$ とおく． このとき

$$A\mathrm{Re}(\vec{v})=\mathrm{Re}(\lambda)\mathrm{Re}(\vec{p})-\m... ...athrm{Im}(\lambda)\mathrm{Re}(\vec{p})+\mathrm{Re}(\lambda)\mathrm{Im}(\vec{p})$$

を得る． $2\times2$ の場合では，

$$AP=A \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{p}) & \mathrm{Re}(\vec{p}) \... ...rm{Im}(\lambda) \\ \mathrm{Im}(\lambda) & \mathrm{Re}(\lambda) \end{bmatrix}=PD$$

が成り立つ． $\vec{p}$, $\overline{\vec{p}}$ が 1 次独立のとき $P$ は正則となるから， $D=P^{-1}AP$ と表される．

定理 5.76 (実標準形)   実行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ は 複素数体上で対角化可能であるとする． 固有値を

$$\mathbb{C}\ni\quad \lambda_1,\,\,\lambda_2=\overline{\lambda_1},\... ..._3},\,\, \cdots,\,\, \lambda_{2k-1},\,\,\lambda_{2k}=\overline{\lambda_{2k-1}},$$

$$\mathbb{R}\ni\quad \lambda_{2k+1}, \cdots, \lambda_{n}$$

とし，それに属する固有ベクトルを $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ とする． このとき，行列 $A$ は

$$D=P^{-1}AP,$$

$$D= \begin{bmatrix}R(\lambda_1)\!\! \\ [-.8ex] & \!\!R(\lambda_2)\... ...athrm{Im}(\lambda) \\ \mathrm{Im}(\lambda) & \mathrm{Re}(\lambda) \end{bmatrix}$$

$$P= \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{p}_1)\,\,\mathrm{Re}(\vec{p}_1... ...rm{Re}(\vec{p}_{2k-1}) & \vec{p}_{2k+1} & \cdots & \vec{p}_{2k+1} \end{bmatrix}$$

と実数体上でブロック対角化される． $D$を実標準形（real canonical form???）という．

例 5.77 (実標準形の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

の固有多項式は

$$g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-2 & 1 \\ -1 & t-2 \end{vmatrix} =t^2-4t+5$$

であるから， 固有値は $g_A(\lambda)=0$ より，

$$\lambda_1=2+i, \quad \lambda_1=2-i$$

と複素数になる． それぞれの固有ベクトルは

$$(2+i)E-A= \begin{bmatrix}i & 1 \\ -1 & i \end{bmatrix} \,\,\xrigh... ...\,\,\xrightarrow{\text{簡約化}}\,\, \begin{bmatrix}1 & i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より，

$$\vec{x}=c \begin{bmatrix}i \\ 1 \end{bmatrix}= c\vec{p}_1, \qquad \vec{x}=c \begin{bmatrix}-i \\ 1 \end{bmatrix}= c\vec{p}_2$$

となる． よって $A$ を複素数体上で対角化すると

$$D=P^{-1}AP,$$

$$D=\mathrm{diag}\,(2+i,2-i)= \begin{bmatrix}2+i & 0 \\ 0 & 2-i \end{bmatrix},$$

$$P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}i & -i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

を得る． 次に $A$ を実数体上で実標準形に分解する． $\lambda_2=\overline{\lambda_1}$, $\vec{p}_2=\overline{\vec{v}_1}$ となることに注意すると

$$D=P^{-1}AP,$$

$$D= \begin{bmatrix}\mathrm{Re}(\lambda_1) & -\mathrm{Im}(\lambda_1... ...rm{Re}(\lambda_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix},$$

$$P= \begin{bmatrix}\mathrm{Im}(\vec{p}_1) & \mathrm{Re}(\vec{p}_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

を得る． 行列 $A=D$, $E=P$ となることから， $A$ は既に実標準形のかたちをしている．

平成20年2月2日