5.27 ユニタリー行列

定義 5.78 (ユニタリー行列)   行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ が $A^{*}A=E$ をみたすとき， $A$ をユニタリー行列（unitary matrix）という．

注意 5.79 (ユニタリー行列と直交行列)   ユニタリー行列 $A$ の要素が実数のみであるとき， $AA^{*}=A{A}^{T}=E$ よりユニタリー行列は直交行列となる．

定理 5.80 (ユニタリー行列の性質)   $A$ をユニタリー行列とする．次が成り立つ．

(1).

$\det(A)=\pm1$.

(2).

$A$ は正則である．

(3).

$A^{-1}=A^{*}$.

定理 5.81 (ユニタリー行列と正規直交系)   行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ がユニタリー行列であることと， $A$ の列ベクトルまたは行ベクトルが 正規直交系であることとは， 必要十分条件である． ただし，内積は $\mathbb{C}$ 上の内積を用いる．

問 5.82 (ユニタリー行列と正規直交系)   直交行列の場合と同様に示せ．

問 5.83 (ユニタリー行列の具体例)   次の行列がユニタリー行列となることを示せ．

$$E= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmat... ... \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}.$$

平成20年2月2日