5.30 歪エルミート行列の対角化

定義 5.101 (歪エルミート行列)   行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ が $A^{*}=-A$ をみたすとき $A$ を歪エルミート行列（skew Hermite matrix）という．

注意 5.102 (歪エルミート行列と交代行列)   歪エルミート行列 $A$ の要素が実数のみであるとき， $A^{*}={A}^{T}=-A$ よりエルミート行列は交代行列となる．

例 5.103 (歪エルミート行列の具体例)   歪エルミート行列の対角成分は純虚数または 0 であり， 非対角成分は実部の符号が反転する：

$$\begin{bmatrix}i & 1+i \\ -1+i & -2i \end{bmatrix}, \qquad \begin... ... & -3i\\ i & 0 & -8 & 5 \\ 2i & 8 & -3i & 6 \\ -3i & -5 & -6 & 4i \end{bmatrix}$$

定理 5.104 (歪エルミート行列の固有値)   歪エルミート列の固有値はすべて純虚数または 0 である．

（証明）     $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ とし， $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2$$

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \overline{\left({\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)}= \overli... ...ec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}= -\overline{\left({A\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}$$

$$= -\overline{\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}= -\over... ...{\lambda}\overline{\Vert\vec{x}\Vert^2}= -\overline{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$$

が成り立つ． ここで， $\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた． $(\lambda+\overline{\lambda})\Vert\vec{x}\Vert^2=0$, $\Vert\vec{x}\Vert\neq 0$ より， $\lambda+\overline{\lambda}=0$ が成立する． $\lambda$ は純虚数である．

注意 5.105 (歪エルミート行列)   歪エルミート行列は正規行列である．

定理 5.106 (歪エルミート行列の固有ベクトル)   歪エルミート行列において， 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する．

（証明）     歪エルミート行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する． または，次のように示す． $A^{*}=-A$ であり, 固有値は純虚数であるから， $A\vec{u}=i\lambda\vec{u}$, $A\vec{v}=i\mu\vec{v}$, $\lambda\neq\mu$ ( $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とおく． $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$i\lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right) = \left({i\lambda\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({A\vec{u}}\... ... \left({\vec{u}}\,,\,{-A\vec{v}}\right)= -\left({\vec{u}}\,,\,{A\vec{v}}\right)$$

$$= -\left({\vec{u}}\,,\,{i\mu\vec{v}}\right)= -\overline{i\mu}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= i\mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$$

となる．

$$i(\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$$

であるから， $\lambda\neq\mu$ より $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る．

定理 5.107 (歪エルミート行列の対角化)   歪エルミート行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ の 固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする． このとき，$A$ は ユニタリー行列 $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

$$D=U^{-1}AU=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

と対角化される． ただし， $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ は $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり， $U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする．

例 5.108 (歪エルミート行列の対角化の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$$

を対角化する．

$$\det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda & -i \\ -i & \lambda \end{vmatrix} =\lambda^2+1=0$$

より，固有値は $i,-i$ である．

$$iE-A= \begin{bmatrix}i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} \quad\xrighta... ...uad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より，固有ベクトルはそれぞれ

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatr... ...}-x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_2$$

となる． $\left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=0$ であるから， 規格化して $\vec{q}_1=\vec{p}_1/\sqrt{2}$, $\vec{q}_2=\vec{p}_2/\sqrt{2}$ とする． このとき $A$ はユニタリー行列 $U$ を用いて

$$D=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(i,-i)= \begin{bmatrix}i & 0 \... ...\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

と対角化される．

平成20年2月2日