5.30 歪エルミート行列の対角化
定義 5.101 (歪エルミート行列) 行列が
をみたすとき
を歪エルミート行列(skew Hermite matrix)という.
注意 5.102 (歪エルミート行列と交代行列) 歪エルミート行列の要素が実数のみであるとき,
よりエルミート行列は交代行列となる.
例 5.103 (歪エルミート行列の具体例) 歪エルミート行列の対角成分は純虚数または 0 であり, 非対角成分は実部の符号が反転する:
定理 5.104 (歪エルミート行列の固有値) 歪エルミート列の固有値はすべて純虚数または 0 である.
(証明)
とし,
上の内積を用いて,
が成り立つ. ここで,を用いた.
,
より,
が成立する.
は純虚数である.
注意 5.105 (歪エルミート行列) 歪エルミート行列は正規行列である.
定理 5.106 (歪エルミート行列の固有ベクトル) 歪エルミート行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.
(証明) 歪エルミート行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する. または,次のように示す.
であり, 固有値は純虚数であるから,
,
,
(
) とおく.
上の内積を用いて,
となる.
であるから,より
を得る.
定理 5.107 (歪エルミート行列の対角化) 歪エルミート行列の 固有値を
とする. このとき,
は ユニタリー行列
を用いて
と対角化される. ただし,は
の固有ベクトルであり,
がユニタリー行列となるように選ぶとする.
例 5.108 (歪エルミート行列の対角化の具体例) 行列
を対角化する.
より,固有値はである.
より,固有ベクトルはそれぞれ
となる.であるから, 規格化して
,
とする. このとき
はユニタリー行列
を用いて
と対角化される.
平成20年2月2日