5.29 エルミート行列の対角化

定義 5.92 (エルミート行列)   行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ が $A^{*}=A$ をみたすとき $A$ をエルミート行列（Hermite matrix）という．

注意 5.93 (エルミート行列と対称行列)   エルミート行列 $A$ の要素が実数のみであるとき， $A^{*}={A}^{T}=A$ よりエルミート行列は対称行列となる．

例 5.94 (エルミート行列の具体例)   エルミート行列の対角成分はすべて実数であり， 非対角成分は虚部の符号が反転する：

$$\begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 2 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatr... ...2i & -3i\\ -i & 2 & -8 & 5 \\ -2i & -8 & -3 & 6 \\ 3i & 5 & 6 & 4 \end{bmatrix}$$

定理 5.95 (エルミート行列の固有値)   エルミート列の固有値はすべて実数である．

（証明）     $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ とし， $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \lambda\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \lambda\Vert\vec{x}\Vert^2$$

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right) = \overline{\left({\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right)}= \overli... ...e{\lambda}\overline{\Vert\vec{x}\Vert^2}= \overline{\lambda}\Vert\vec{x}\Vert^2$$

が成り立つ． ここで， $\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた． $(\lambda-\overline{\lambda})\Vert\vec{x}\Vert^2=0$, $\Vert\vec{x}\Vert\neq 0$ より， $\lambda-\overline{\lambda}=0$ が成立する． $\lambda$ は実数である．

注意 5.96 (エルミート行列)   エルミート行列は正規行列である．

定理 5.97 (エルミート行列の固有ベクトル)   エルミート行列において， 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する．

（証明）     エルミート行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する． または，次のように示す． $A^{*}=A$, $A\vec{u}=\lambda\vec{u}$, $A\vec{v}=\mu\vec{v}$, $\lambda\neq\mu$ ( $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とする． $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\lambda\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\lambda\vec{u... ...u}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \mu\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$$

となる．

$$(\lambda-\mu)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$$

であるから， $\lambda\neq\mu$ より $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る．

定理 5.98 (エルミート行列の対角化)   エルミート行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ の 固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする． このとき，$A$ は ユニタリー行列 $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

$$D=U^{-1}AU=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

と対角化される． ただし， $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ は $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり， $U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする．

例 5.99 (エルミート行列の対角化の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}$$

を対角化する．

$$\det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda-1 & -i \\ i & \lambda-1 \end{vmatrix} =\lambda(\lambda-2)=0$$

より，固有値は $0,2$ である．

$$0E-A= \begin{bmatrix}-1 & -i \\ i & -1 \end{bmatrix} \quad\xright... ...ad\xrightarrow{\text{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より，固有ベクトルはそれぞれ

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}-ix_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bma... ...x}ix_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}i \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_2$$

となる． $\left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=0$ であるから， 規格化して $\vec{q}_1=\vec{p}_1/\sqrt{2}$, $\vec{q}_2=\vec{p}_2/\sqrt{2}$ とする． このとき $A$ はユニタリー行列 $U$ を用いて

$$D=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(0,2)= \begin{bmatrix}0 & 0 \\... ...\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}-i & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

と対角化される．

例 5.100 (エルミート行列の対角化の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}0 & i & 1 \\ -i & 0 & i \\ 1 & -i & 0 \end{bmatrix}$$

を対角化する．

$$\det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda & -i & -1 \\ i & \lambda & -i \\ -1 & i & \lambda \end{vmatrix} =(\lambda-1)^2(\lambda+2)=0$$

より，固有値は $1$(2 個), $-2$ である．

$$E-A= \begin{bmatrix}1 & -i & -1 \\ i & 1 & -i \\ -1 & i & 1 \end{... ...約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & -i & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$$

$$-2E-A= \begin{bmatrix}-2 & -i & -1 \\ i & -2 & -i \\ -1 & i & -2 ... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より，固有ベクトルはそれぞれ

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}ix_2+x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = c_... ...\\ x_3 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ -i \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_3$$

となる． $\left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_2}\right)=i$, $\left({\vec{p}_1}\,,\,{\vec{p}_3}\right)=0$, $\left({\vec{p}_2}\,,\,{\vec{p}_3}\right)=0$ であるから，

$$\vec{q}_1= \frac{\vec{p}_1}{\Vert\vec{p}_1\Vert} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}i \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},$$

$$\vec{p}'_2= \vec{p}_2-\left({\vec{p}_2}\,,\,{\vec{q}_1}\right)\ve... ...\vec{p}'_2\Vert} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ i \\ 2 \end{bmatrix},$$

$$\vec{q}_3= \frac{\vec{p}_3}{\Vert\vec{p}_3\Vert} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}-1 \\ -i \\ 1 \end{bmatrix}$$

とおくと， 正規直交系 $\left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$ となる． このとき $A$ はユニタリー行列 $U$ を用いて

$$D=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(1,1,-2)= \begin{bmatrix}1 & 0... ...frac{-i}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$$

と対角化される．

平成20年2月2日