5.32 ユニタリー行列の対角化
定理 5.115 (ユニタリー行列の固有値) ユニタリー行列の固有値は絶対値がとなる複素数である.
(証明)
,
とし,
上の内積を用いて,
が成り立つ. ここで,を用いた.
,
より,
が成立する.
注意 5.116 (ユニタリー行列) ユニタリー行列は正規行列である.
定理 5.117 (ユニタリー行列の固有ベクトル) ユニタリー行列において, 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.
(証明) ユニタリー行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する. または,次のように示す.
であり, 固有値は複素平面の単位円上にあるから,
,
,
(
) とする.
上の内積を用いて,
となる. ここでを用いた.
であるから,より
を得る.
定理 5.118 (ユニタリー行列の対角化) ユニタリー行列の 固有値を
とする. このとき,
は ユニタリー行列
を用いて
と対角化される. ただし,は
の固有ベクトルであり,
がユニタリー行列となるように選ぶとする.
平成20年2月2日