5.32 ユニタリー行列の対角化

定理 5.115 (ユニタリー行列の固有値)   ユニタリー行列の固有値は絶対値が $1$ となる複素数である．

（証明）     $A^{*}A=E$, $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ とし， $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right) = \lambda\overline{\lambda}\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \vert\lambda\vert^2\Vert\vec{x}\Vert^2$$

$$\left({\lambda\vec{x}}\,,\,{\lambda\vec{x}}\right) = \left({A\vec{x}}\,,\,{A\vec{x}}\right)= \left({A^{*}A\vec{x}}\,... ...,,\,{\vec{x}}\right)= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \Vert\vec{x}\Vert^2$$

が成り立つ． ここで， $\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた． $(\vert\lambda\vert^2-1)\Vert\vec{x}\Vert^2=0$, $\Vert\vec{x}\Vert\neq 0$ より， $\vert\lambda\vert=1$ が成立する．

注意 5.116 (ユニタリー行列)   ユニタリー行列は正規行列である．

定理 5.117 (ユニタリー行列の固有ベクトル)   ユニタリー行列において， 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する．

（証明）     ユニタリー行列は正規行列であるので固有ベクトルは直交する． または，次のように示す． $A^{*}A=E$ であり, 固有値は複素平面の単位円上にあるから， $A\vec{u}=e^{i\lambda}\vec{u}$, $A\vec{v}=e^{i\mu}\vec{v}$, $\lambda\neq\mu$ ( $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$) とする． $\mathbb{C}$ 上の内積を用いて，

$$\left({e^{i\lambda}\vec{u}}\,,\,{e^{i\mu}\vec{v}}\right) = e^{i\lambda}\overline{e^{i\mu}}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\ri... ...}\,,\,{\vec{v}}\right)= e^{i(\lambda-\mu)}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right),$$

$$\left({e^{i\lambda}\vec{u}}\,,\,{e^{i\mu}\vec{v}}\right) = \left({A\vec{u}}\,,\,{A\vec{v}}\right)= \left({A^{*}A\vec{u}}\,... ...t)= \left({E\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$$

となる． ここで $\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$ を用いた．

$$(e^{i(\lambda-\mu)}-1)\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$$

であるから， $\lambda\neq\mu$ より $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を得る．

定理 5.118 (ユニタリー行列の対角化)   ユニタリー行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ の 固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とする． このとき，$A$ は ユニタリー行列 $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ を用いて

$$D=U^{-1}AU=U^{*}AU, \qquad D=\mathrm{diag}\,(\lambda_1,\cdots,\lambda_n), \quad U= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$$

と対角化される． ただし， $\vec{p}_1,\cdots,\vec{p}_n$ は $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ の固有ベクトルであり， $U$ がユニタリー行列となるように選ぶとする．

平成20年2月2日