2.9 ベクトルのなす角

定義 2.33 (ベクトルの成す角)   2 つのベトクル $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$ に対して

$$\cos\theta= \frac{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}$$

により与えられる $\theta$ を ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ との成す角（angular）という． また， $\cos\theta$ を方向余弦（direction cosine）という．

注意 2.34 (内積とノルムの比)   シュバルツの不等式より

$$-1\leq\frac{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}\leq1$$

となることに注意する．

例 2.35 (成す角の具体例)   ベトクル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$

を考える．このとき方向余弦は

$$\cos\theta= \frac{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{5}}= \frac{1}{\sqrt{10}}$$

となるので， 成す角は

$$\theta= \arccos\frac{1}{\sqrt{10}}\simeq 0.4\pi\simeq 72^{\circ}$$

である．

例 2.36 (成す角の具体例)   ベトクル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$$

を考える．このとき方向余弦は

$$\cos\theta= \frac{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}= \frac{2}{\sqrt{3}\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{2}}{3}$$

となるので， 成す角は

$$\theta= \arccos\frac{\sqrt{2}}{3} \simeq 0.34\pi \simeq 62^{\circ}$$

である．

平成20年2月2日