2.11 基本ベクトル

定義 2.42 (基本ベクトル)   $\mathbb{R}^n$ のベクトル

$$\vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatr... ...dots,\quad \vec{e}_{n}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

を $\mathbb{R}^{n}$ の 基本ベクトル（elemental vector）という．

注意 2.43 (基本ベクトルのノルム)   $\Vert\vec{e}_j\Vert=1$ $(j=1,2,\cdots,n)$ であるから， 基本ベクトルはすべてノルムは $1$ である．

注意 2.44 (基本ベクトルの直交性)   $\left({\vec{e}_i}\,,\,{\vec{e}_j}\right)=0$ $(i\neq j)$ であるから， 異なる基本ベクトルどうしは直交する．

定理 2.45 (基本ベクトルと任意のベクトル)   $\mathbb{R}^{n}$ の任意のベクトル

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$$

は $\mathbb{R}^n$ の基本ベトクル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$ を 用いて

$$\vec{x}= x_{1}\vec{e}_{1}+ x_{2}\vec{e}_{2}+\cdots+ x_{n}\vec{e}_{n}$$

と表される．

平成20年2月2日