2.12 正規直交系

定義 2.46 (正規直交系)   ベクトルの組 $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n$ は直交系であり， かつ，すべてのベクトルが単位ベクトルであるとする． すなわち，

$$\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)= \delta_{ij},\qquad i,j=1,2,\cdots,n$$

をみたすとき， このベクトルの組を正規直交系（orthonormal system）という．

例 2.47 (基本ベクトルの正規直交性)   基本ベクトル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\in\mathbb{R}^n$ は 正規直交系である．

問 2.48 (正規直交系の具体例)   次のベクトルの組は正規直交系であることを示せ．

(1) $${ \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{b... ...matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$$          (2) $${ \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-1}{\sqrt{5}} \end{... ...matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$$          (3) $${ \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$$

(4) $${ \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}... ...rt{2}} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3}$$          (5) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 ... ... \begin{bmatrix} 0 \\ \cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3 }$$

平成20年2月2日