2.12 正規直交系

定義 2.46 (正規直交系)   ベクトルの組 $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n$ は直交系であり, かつ,すべてのベクトルが単位ベクトルであるとする. すなわち,

$\displaystyle \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)= \delta_{ij},\qquad i,j=1,2,\cdots,n$    

をみたすとき, このベクトルの組を正規直交系(orthonormal system)という.

2.47 (基本ベクトルの正規直交性)   基本ベクトル $ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\in\mathbb{R}^n$ は 正規直交系である.

2.48 (正規直交系の具体例)   次のベクトルの組は正規直交系であることを示せ.

(1) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{b...
...matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$          (2) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-1}{\sqrt{5}}
\end{...
...matrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} \\ -\frac{2}{\sqrt{5}}
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$          (3) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\cos\theta \\ \sin\theta
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-\sin\theta\\ \cos\theta
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$

(4) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}}...
...rt{2}}
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3}$          (5) $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 ...
...
\begin{bmatrix}
0 \\
\cos\theta \\
\sin\theta
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3
}$




平成20年2月2日