3.1 ベクトル空間
定義 3.1 (ベクトル空間) 集合の任意の元
,
と 体
(
または
)の任意の元
に対して, 和
とスカラー倍
が定義されていて, 次の性質(i)-(viii)をみたすならば,
を
上のベクトル空間(vector space)と呼び,
の元
をベクトル(vector)と呼ぶ.
- (交換則)
.
- (結合則)
.
- (零元の存在)
.
- (スカラー倍に関する結合則)
.
- (スカラー倍に関する分配即)
.
- (スカラー倍に関する分配即)
.
- (スカラー倍に関する単位元)
.
- (スカラー倍に関する零元)
.
例 3.2 (ベクトル空間の例)
- 実列ベクトル全体の集合:
条件(i)-(viii)をみたすのでは
上のベクトル空間である.
- 複素列ベクトル全体の集合:
条件(i)-(viii)をみたすのでは
上のベクトル空間である.
- 実行ベクトル全体の集合:
条件(i)-(viii)をみたすのでは
上のベクトル空間である.
- 複素行ベクトル全体の集合:
条件(i)-(viii)をみたすのでは
上のベクトル空間である.
- 高々
次の実係数多項式全体の集合:
の元は多項式であり
と表される.これらの和は
となり,スカラー倍は
となる.は和とスカラー倍の演算について閉じている. また, 条件(i)-(viii)をみたすので,
は
上のベクトル空間である.
- 区間
で連続な関数全体の集合:
.
の元は関数であり
とおく. これらの和は
であり連続関数となる. スカラー倍は
であり連続関数となる.は和とスカラー倍に関して閉じている. また,条件(i)-(viii)をみたすので,
は
上のベクトル空間である.
- 無限回微分可能な関数全体の集合
は
上のベクトル空間である.
平成20年2月2日