3.1 ベクトル空間

定義 3.1 (ベクトル空間)   集合 $ V$ の任意の元 $ \vec{u}$, $ \vec{v}$ と 体 $ K$ ( $ \mathbb{R}$ または $ \mathbb{C}$)の任意の元 $ \alpha$ に対して, $ \vec{u}+\vec{v}\in V$スカラー倍 $ \alpha\vec{u}\in V$ が定義されていて, 次の性質(i)-(viii)をみたすならば, $ V$$ K$ 上のベクトル空間(vector space)と呼び, $ V$ の元 $ \vec{v}\in V$ベクトル(vector)と呼ぶ.
  1. (交換則) $ \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.
  2. (結合則) $ (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=
\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$.
  3. (零元の存在) $ \vec{u}+\exists\vec{0}=
\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$.
  4. (スカラー倍に関する結合則) $ \alpha(\beta\vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u}$.
  5. (スカラー倍に関する分配即) $ (\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}$.
  6. (スカラー倍に関する分配即) $ \alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$.
  7. (スカラー倍に関する単位元) $ 1\vec{u}=\vec{u}$.
  8. (スカラー倍に関する零元) $ 0\vec{u}=\vec{0}$.

3.2 (ベクトル空間の例)    


平成20年2月2日