3.1 ベクトル空間

定義 3.1 (ベクトル空間)   集合 $V$ の任意の元 $\vec{u}$, $\vec{v}$ と 体 $K$ ( $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$)の任意の元 $\alpha$ に対して， 和 $\vec{u}+\vec{v}\in V$ とスカラー倍 $\alpha\vec{u}\in V$ が定義されていて， 次の性質(i)-(viii)をみたすならば， $V$ を $K$ 上のベクトル空間（vector space）と呼び， $V$ の元 $\vec{v}\in V$ をベクトル（vector）と呼ぶ．

1. （交換則） $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.
2. （結合則） $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}= \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$.
3. （零元の存在） $\vec{u}+\exists\vec{0}= \vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$.
4. （スカラー倍に関する結合則） $\alpha(\beta\vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u}$.
5. （スカラー倍に関する分配即） $(\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}$.
6. （スカラー倍に関する分配即） $\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$.
7. （スカラー倍に関する単位元） $1\vec{u}=\vec{u}$.
8. （スカラー倍に関する零元） $0\vec{u}=\vec{0}$.

例 3.2 (ベクトル空間の例)    

• 実列ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{R}^{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdot... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}.$$

  
  
  条件(i)-(viii)をみたすので $\mathbb{R}^n$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．
• 複素列ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{C}^{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdot... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}}\,\right\}.$$

  
  
  条件(i)-(viii)をみたすので $\mathbb{C}^n$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間である．
• 実行ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{R}_{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} & a_{2} & \dots &... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}.$$

  
  
  条件(i)-(viii)をみたすので $\mathbb{R}_n$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．
• 複素行ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{C}^{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} & a_{2} & \cdots ... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}}\,\right\}.$$

  
  
  条件(i)-(viii)をみたすので $\mathbb{C}_n$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間である．
• 高々 $n$ 次の実係数多項式全体の集合：

  $$\mathbb{R}[x]_{n} = \left\{\left.\,{f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots+a_{n}x^{n}}\,\,\right\vert\,\,{a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}.$$

  
  
  $\mathbb{R}[x]_n$ の元は多項式であり

  $$\mathbb{R}[x]_n\ni f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots+a_{n}x^{n},$$

  $$\mathbb{R}[x]_n\ni g(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^2+\cdots+b_{n}x^{n}$$

  
  
  と表される．これらの和は

  $$(f+g)(x) = (a_{0}+b_0)+(a_{1}+b_1)x+(a_{2}+b_2)x^2+\cdots+(a_{n}+b_n)x^{n}$$

  $$= c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^2+\cdots+c_{n}x^{n} \in\mathbb{R}[x]_n$$

  
  
  となり，スカラー倍は

  $$(\alpha f)(x) = (\alpha a_{0})+(\alpha a_{1})x+(\alpha a_{2})x^2 +\cdots+(\alpha a_{n})x^{n}$$

  $$= c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^2+\cdots+c_{n}x^{n} \in\mathbb{R}[x]_n$$

  
  
  となる． $\mathbb{R}[x]_n$ は和とスカラー倍の演算について閉じている． また， 条件(i)-(viii)をみたすので， $\mathbb{R}[x]_n$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．
• 区間 $(a,b)$ で連続な関数全体の集合： $C(a,b)$. $C(a,b)$ の元は関数であり $f(x),g(x)\in C(a,b)$ とおく． これらの和は

  $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\in C(a,b)$$

  
  
  であり連続関数となる． スカラー倍は

  $$(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\in C(a,b)$$

  
  
  であり連続関数となる． $C(a,b)$ は和とスカラー倍に関して閉じている． また，条件(i)-(viii)をみたすので， $C(a,b)$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．
• 無限回微分可能な関数全体の集合 $C^{\infty}$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．

平成20年2月2日