3.2 内積空間

定義 3.3 (実ベクトル空間の内積) $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間

の任意の 2 つのベクトル $\vec{u}$ , $\vec{v}$ に対して， 2 項演算 $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ が次の条件(i)-(iv)をみたすとき，演算 $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ を内積（inner product）という．

(i).: $\left({\vec{u}+\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)+\left({\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)$ .
(ii).: $\left({\alpha\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \alpha\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ , $\alpha\in\mathbb{R}$ .
(iii).: $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}}\right)$ .
(iv).: $\vec{u}\neq\vec{0}$ のとき $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{u}}\right)>0$ .

定義 3.4 (複素ベクトル空間の内積) $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間

(i).: $\left({\vec{u}+\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)= \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)+\left({\vec{u}'}\,,\,{\vec{v}}\right)$ .
(ii).: $\left({\alpha\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \alpha\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ , $\alpha\in\mathbb{C}$ .
(iii).: $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \overline{\left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}}\right)}$ .
(iv).: $\vec{u}\neq\vec{0}$ のとき $\mathbb{R}\ni\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{u}}\right)>0$ .

注意 3.5 (複素ベクトル空間の内積)

(iia): $\left({\alpha\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= \alpha\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ .
(iib): $\left({\vec{u}}\,,\,{\alpha\vec{v}}\right)=\overline{\alpha}\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)$ . （ $\Leftarrow$ (i), (ii)）

定義 3.6 (内積空間) 内積が定義されたベクトル空間を 内積空間（inner product space）という．

定義 3.7 (標準的な内積) 実ベクトル空間 $\mathbb{R}^n$ に対して内積

$\displaystyle \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= {\vec{u}}^{T}\vec{v}= \sum_{k=1}^{n}u_{k}v_{k}= u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n$

を $\mathbb{R}^n$ の標準的な内積という．また，複素ベクトル空間 $\mathbb{C}^n$ に対して内積

$\displaystyle \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= {\vec{u}}^{T}\overline{\vec... ...verline{v_{k}}= u_1\overline{v_1}+ u_2\overline{v_2}+ \cdots+ u_n\overline{v_n}$