3.2 内積空間
定義 3.3 (実ベクトル空間の内積)上のベクトル空間
の任意の 2 つのベクトル
,
に対して, 2 項演算
が次の条件(i)-(iv)をみたすとき, 演算
を内積(inner product)という.
- (i).
.
- (ii).
,
.
- (iii).
.
- (iv).
のとき
.
定義 3.4 (複素ベクトル空間の内積)上のベクトル空間
の任意の 2 つのベクトル
,
に対して, 2 項演算
が次の条件(i)-(iv)をみたすとき, 演算
を内積(inner product)という.
- (i).
.
- (ii).
,
.
- (iii).
.
- (iv).
のとき
.
注意 3.5 (複素ベクトル空間の内積)
- (iia)
.
- (iib)
. (
(i), (ii))
定義 3.6 (内積空間) 内積が定義されたベクトル空間を 内積空間(inner product space)という.
定義 3.7 (標準的な内積) 実ベクトル空間に対して内積
をの標準的な内積という. また, 複素ベクトル空間
に対して内積
をの標準的な内積という.
問 3.8 (標準的な内積) 標準的な内積が内積の定義(i)-(iv)をみたすことを示せ.
問 3.9 (内積の具体例) 区間で連続関数の集合
はベクトル空間である.
の 2 つのベクトル
,
に対して 2 項演算
を
と定義する. この演算は性質(i)-(iv)をみたすので内積となる. これを示せ.
問 3.10 (内積の具体例)の 2 つのベクトル
,
に対して 2 項演算
は性質(i)-(iv)をみたすので内積となる. これを示せ.
平成20年2月2日