3.3 一般のベクトル空間におけるノルムと直交系

定義 3.11 (ノルム)   内積空間 $ V$ のベクトル $ \vec{x}$ に対して

$\displaystyle \Vert\vec{x}\Vert=\sqrt{\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}$    

をベクトル $ \vec{x}$ノルム(norm)という.

定義 3.12 (方向余弦)   $ \mathbb{R}$ 上の内積空間 $ V$ において

$\displaystyle \cos\theta= \frac{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}, \qquad \vec{a},\vec{b}\in V$    

$ \vec{a}$, $ \vec{b}$方向余弦という.

定義 3.13 (直交,直交系,正規直交系)   内積空間 $ V$ において次の定義をする.
(i).
$ \vec{u},\vec{v}\in V$ $ \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を みたすとき $ \vec{u}$$ \vec{v}$直交するという.
(ii).
$ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\in V$ $ \Vert\vec{u}_i\Vert\neq 0$, $ \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=0$($ i\neq j$) をみたすとき, $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$直交系(orthogonal system)であるという.
(iii).
$ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\in V$ $ \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$( $ i,j=1,2,\cdots,n$) をみたすとき, $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$正規直交系(orthonormal system)であるという.

3.14 (ベクトルの内積の具体例)   ベクトル空間 $ \mathbb{R}[x]_2$ において内積を

$\displaystyle \left({f}\,,\,{g}\right)= \int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx$    

と定義する. このとき

$\displaystyle f_0=1,\quad f_1=1+2x,\quad f_2=1-4x+3x^2$    

とする. これらの内積は

  $\displaystyle \left({f_0}\,,\,{f_0}\right)= \int_{0}^{1}1\cdot 1\,dx=1,$   $\displaystyle \left({f_1}\,,\,{f_1}\right)= \int_{0}^{1}(1+2x)^2\,dx=\frac{13}{3},$    
  $\displaystyle \left({f_0}\,,\,{f_1}\right)= \int_{0}^{1}1\cdot(1+2x)\,dx=2,$   $\displaystyle \left({f_1}\,,\,{f_2}\right)= \int_{0}^{1}(1+2x)\cdot(1-4x+3x^2)\,dx=-\frac{1}{6},$    
  $\displaystyle \left({f_0}\,,\,{f_2}\right)= \int_{0}^{1}1\cdot(1-4x+3x^2)\,dx=0,$   $\displaystyle \left({f_2}\,,\,{f_2}\right)= \int_{0}^{1}(1-4x+3x^2)^2\,dx=\frac{2}{15}$    

となる.よって

$\displaystyle \Vert f_0\Vert=\sqrt{\left({f_0}\,,\,{f_0}\right)}=1, \qquad \Ver...
..., \qquad \Vert f_2\Vert=\sqrt{\left({f_2}\,,\,{f_2}\right)}=\sqrt{\frac{2}{15}}$    

である. また, $ \left({f_0}\,,\,{f_2}\right)=0$ より,$ f_0$$ f_2$ は直交する.

3.15 (直交系)   $ C^{\infty}$ において内積を

$\displaystyle \left({f}\,,\,{g}\right)= \int_{0}^{2\pi}f(x)g(x)\,dx$    

と定義すると $ C^{\infty}$ は内積空間となる. このとき,

$\displaystyle f_0=g_0=1. \qquad f_n=\sin(nx), \qquad g_n=\cos(nx)$    

とおくと,

$\displaystyle \{f_0,f_1,f_2,f_3,\cdots,g_1,g_2,g_3,\cdots\}$    

は直交系となる. すなわち, すべての $ n,m=0,1,2,\cdots$ に対して

  $\displaystyle \left({f_n}\,,\,{f_n}\right)\neq0, \qquad \left({g_n}\,,\,{g_n}\r...
...0, \qquad \left({g_n}\,,\,{g_m}\right)=0, \qquad \left({f_n}\,,\,{g_m}\right)=0$    

が成り立つ. これを示せ. また,正規化して正規直交系にせよ.


平成20年2月2日