3.3 一般のベクトル空間におけるノルムと直交系

定義 3.11 (ノルム)   内積空間 $V$ のベクトル $\vec{x}$ に対して

$$\Vert\vec{x}\Vert=\sqrt{\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)}$$

をベクトル $\vec{x}$ のノルム（norm）という．

定義 3.12 (方向余弦)   $\mathbb{R}$ 上の内積空間 $V$ において

$$\cos\theta= \frac{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}, \qquad \vec{a},\vec{b}\in V$$

を $\vec{a}$, $\vec{b}$ の方向余弦という．

定義 3.13 (直交，直交系，正規直交系)   内積空間 $V$ において次の定義をする．

(i).

$\vec{u},\vec{v}\in V$ が $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ を みたすとき $\vec{u}$ は $\vec{v}$ は直交するという．

(ii).

$\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\in V$ が $\Vert\vec{u}_i\Vert\neq 0$, $\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=0$($i\neq j$) をみたすとき， $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ は直交系（orthogonal system）であるという．

(iii).

$\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\in V$ が $\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$( $i,j=1,2,\cdots,n$) をみたすとき， $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ は正規直交系（orthonormal system）であるという．

例 3.14 (ベクトルの内積の具体例)   ベクトル空間 $\mathbb{R}[x]_2$ において内積を

$$\left({f}\,,\,{g}\right)= \int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx$$

と定義する． このとき

$$f_0=1,\quad f_1=1+2x,\quad f_2=1-4x+3x^2$$

とする． これらの内積は

$$\left({f_0}\,,\,{f_0}\right)= \int_{0}^{1}1\cdot 1\,dx=1, \left({f_1}\,,\,{f_1}\right)= \int_{0}^{1}(1+2x)^2\,dx=\frac{13}{3},$$

$$\left({f_0}\,,\,{f_1}\right)= \int_{0}^{1}1\cdot(1+2x)\,dx=2, \left({f_1}\,,\,{f_2}\right)= \int_{0}^{1}(1+2x)\cdot(1-4x+3x^2)\,dx=-\frac{1}{6},$$

$$\left({f_0}\,,\,{f_2}\right)= \int_{0}^{1}1\cdot(1-4x+3x^2)\,dx=0, \left({f_2}\,,\,{f_2}\right)= \int_{0}^{1}(1-4x+3x^2)^2\,dx=\frac{2}{15}$$

となる．よって

$$\Vert f_0\Vert=\sqrt{\left({f_0}\,,\,{f_0}\right)}=1, \qquad \Ver... ..., \qquad \Vert f_2\Vert=\sqrt{\left({f_2}\,,\,{f_2}\right)}=\sqrt{\frac{2}{15}}$$

である． また， $\left({f_0}\,,\,{f_2}\right)=0$ より，$f_0$ と $f_2$ は直交する．

問 3.15 (直交系)   $C^{\infty}$ において内積を

$$\left({f}\,,\,{g}\right)= \int_{0}^{2\pi}f(x)g(x)\,dx$$

と定義すると $C^{\infty}$ は内積空間となる． このとき，

$$f_0=g_0=1. \qquad f_n=\sin(nx), \qquad g_n=\cos(nx)$$

とおくと，

$$\{f_0,f_1,f_2,f_3,\cdots,g_1,g_2,g_3,\cdots\}$$

は直交系となる． すなわち， すべての $n,m=0,1,2,\cdots$ に対して

$$\left({f_n}\,,\,{f_n}\right)\neq0, \qquad \left({g_n}\,,\,{g_n}\r... ...0, \qquad \left({g_n}\,,\,{g_m}\right)=0, \qquad \left({f_n}\,,\,{g_m}\right)=0$$

が成り立つ． これを示せ． また，正規化して正規直交系にせよ．

平成20年2月2日