3.3 一般のベクトル空間におけるノルムと直交系
定義 3.11 (ノルム) 内積空間のベクトル
に対して
をベクトルのノルム(norm)という.
定義 3.12 (方向余弦)上の内積空間
において
を,
の方向余弦という.
定義 3.13 (直交,直交系,正規直交系) 内積空間において次の定義をする.
- (i).
が
を みたすとき
は
は直交するという.
- (ii).
が
,
(
) をみたすとき,
は直交系(orthogonal system)であるという.
- (iii).
が
(
) をみたすとき,
は正規直交系(orthonormal system)であるという.
例 3.14 (ベクトルの内積の具体例) ベクトル空間において内積を
と定義する. このとき
とする. これらの内積は
となる.よって
である. また,より,
と
は直交する.
問 3.15 (直交系)において内積を
と定義するとは内積空間となる. このとき,
とおくと,
は直交系となる. すなわち, すべてのに対して
が成り立つ. これを示せ. また,正規化して正規直交系にせよ.
平成20年2月2日