3.4 演習問題 〜 ベクトル空間，内積空間

問 3.16 (ベクトル空間)   次の空間(1)-(5)がベクトル空間となるための条件 (i) $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$, (ii) $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}= \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$, (iii) $\vec{u}+\exists\vec{0}= \vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$, (iv) $\alpha(\beta\vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u}$, (v) $(\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}$, (vi) $\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$, (vii) $1\vec{u}=\vec{u}$, (viii) $0\vec{u}=\vec{0}$ をみたすことを証明せよ．
    (1)   $\mathbb{R}^{n}= \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vd... ...d{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．
    (2)   $\mathbb{C}^{n}= \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vd... ...d{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}}\,\right\}$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間である．
    (3)   $\mathbb{R}_{n}= \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots... ...d{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．
    (4)   $\mathbb{C}^{n}= \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdot... ...d{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}}\,\right\}$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間である．
    (5)   $\mathbb{R}[x]_{n}= \left\{\left.\,{f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots+a_{n}x^{n}}\,\,\right\vert\,\,{a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である．

問 3.17 (内積)   次のベクトルのノルムをすべて求めよ． また，二つのベクトルの内積とそれらの成す角を すべての組合わせで求めよ．

(1) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$          (2) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{bmatrix}}$$          (3) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$          (4) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}}$$          (5) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ -7 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}}$$

(6) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}}$$          (7) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$

(8) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}}$$          (9) $${ \mathbb{R}^{5}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$

問 3.18 (内積)   次のベクトルのノルムをすべて求めよ． また，二つのベクトルの内積を すべての組合わせで求めよ．

(1) $\mathbb{C}\ni -1+i$, $-2+3i$, $-5-4i$, $-3i$, $-2i$, $3-i$

(2) $${ \mathbb{C}^{2}\ni \begin{bmatrix} -1+i \\ 2-3i \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 3-i \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5+i \\ -1+i \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 4-2i \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 7i \\ -i \end{bmatrix}}$$

(3) $${ \mathbb{C}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2+i \\ 3-i \\ 5 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 4+i \\ 2-3i \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1-i \\ i \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5+4i \\ 2+4i \\ -3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 7i \\ 3 \\ 3+5i \end{bmatrix}}$$

問 3.19 (内積)   次のベクトルのノルムをすべて求めよ． また，二つのベクトルの内積とそれらの成す角を すべての組合わせで求めよ． ただし，内積は次のように定義する．

$$\left({f}\,,\,{g}\right)= \int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx$$

(1) $\mathbb{R}[x]_{1}\ni 1+x$, $5x$, $-3+2x$, $2-5x$, $5$

(2) $\mathbb{R}[x]_{2}\ni 2+x-x^2$, $1-x+x^2$

(3) $\mathbb{R}[x]_{2}\ni 1+x+x^2$, $3x-x^2$, $5+x$, $3-x+2x^2$, $2$

(4) $\mathbb{R}[x]_{3}\ni 1+x+x^2+x^3$, $-3x+x^2-2x^3$, $2x^2+3x^3$

問 3.20 (直交)   次のベクトルと直交するベクトルをひとつ求めよ． ただし，(1)-(3)の内積は標準的な内積とし， (4)の内積は前問の内積を用いること．

(1) $${ \mathbb{R}^2\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$          (2) $${ \mathbb{C}^2\ni \begin{bmatrix} 1+i \\ -2-3i \end{bmatrix}}$$          (3) $${\mathbb{R}^2\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$          (4) $${\mathbb{R}[x]_2\ni 1-2x+x^2}$$

問 3.21 (直交)   ベクトル $${ \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ a \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3}$$ が直交するよう $a$ を定めよ．

問 3.22 (直交)   ベクトル $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3}$$ と 直交し，ノルムが $1$ のベクトルを求めよ．

平成20年2月2日