3.5 部分空間
定義 3.23 (部分空間) ベクトル空間の部分集合
が,
と同じ和とスカラー倍の定義で, ベクトル空間となるとき,
を
の部分空間(subspace)という.
定理 3.24 (部分空間)の部分集合
が
の部分空間となるための 必用十分条件は次の(i)-(iii)をみたすことである.
- (i).
.
- (ii).
.
- (iii).
.
(証明) (必用条件)
が部分空間であれば,ベクトル空間の条件(i)-(viii)をみたす. このとき条件(i)-(iii)をみたすのは明らか. (十分条件)
が条件(i)をみたすとき,ベクトル空間の条件(iii)をみたす. 条件(ii)をみたすとき,ベクトル空間の条件(i)-(ii)をみたす. 条件(iii)をみたすとき,ベクトル空間の条件(iv)-(viii)をみたす.
定理 3.25 (部分空間) 次の条件(☆)はの部分集合
が
の部分空間となるための 必用十分条件である.
☆
(証明)
のとき条件(i)と等価である.
のとき条件(ii)と等価である.
のとき条件(iii)と等価である.
注意 3.26 (部分空間と零ベクトル) 部分空間は零ベクトル
を含む. なぜなら, 部分空間の必用十分条件(☆)で
とおくと
となるからである.
平成20年2月2日