3.5 部分空間

定義 3.23 (部分空間)   ベクトル空間 $V$ の部分集合 $W$ が， $V$ と同じ和とスカラー倍の定義で， ベクトル空間となるとき， $W$ を $V$ の部分空間（subspace）という．

定理 3.24 (部分空間)   $V$ の部分集合 $W$ が $V$ の部分空間となるための 必用十分条件は次の(i)-(iii)をみたすことである．

(i).

$\vec{0}_V\in W$.

(ii).

$\forall\vec{u},\vec{v}\in W \quad\Rightarrow\quad \vec{u}+\vec{v}\in W$.

(iii).

$\forall\vec{u}\in W,\quad \forall c\in\mathbb{R} \quad\Rightarrow\quad c\vec{u}\in W$.

（証明）     （必用条件） $W$ が部分空間であれば，ベクトル空間の条件(i)-(viii)をみたす． このとき条件(i)-(iii)をみたすのは明らか． （十分条件） $W$ が条件(i)をみたすとき，ベクトル空間の条件(iii)をみたす． 条件(ii)をみたすとき，ベクトル空間の条件(i)-(ii)をみたす． 条件(iii)をみたすとき，ベクトル空間の条件(iv)-(viii)をみたす．

定理 3.25 (部分空間)   次の条件(☆)は $V$ の部分集合 $W$ が $V$ の部分空間となるための 必用十分条件である．

$$( )\qquad \forall\vec{u},\vec{v}\in W, \quad \forall\alpha,\beta\in\mathbb{R} \qquad\Rightarrow\qquad \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\in W$$

（証明）     $\alpha=\beta=0$ のとき条件(i)と等価である． $\alpha=\beta=1$ のとき条件(ii)と等価である． $\beta=0$ のとき条件(iii)と等価である．

注意 3.26 (部分空間と零ベクトル)   部分空間 $W$ は零ベクトル $\vec{0}$ を含む． なぜなら， 部分空間の必用十分条件(☆)で $\alpha=\beta=0$ とおくと

$$0\vec{a}+0\vec{b}=\vec{0}\in W$$

となるからである．

平成20年2月2日