3.6
の部分空間
例 3.27 (部分空間の具体例) 連立方程式の解の集合
はの部分集合であり,
の部分空間である.
とする. すなわち,
,
は方程式
の解であり,
をみたすとする. このとき,
となるのでもまた解である. よって
となり,
は
の部分空間である.
例 3.28 (部分空間の具体例) 連立方程式の解の集合
はの部分集合であり,
の部分空間ではない.
より 非同次系は原点
を解にもたない. よって
は
を含まず,部分空間とはならない. つまり,
である.
例 3.29 (部分空間の具体例)の部分集合
はの部分空間である.
は同次連立方程式の解の集合であるから, 解を求めと,
となる.は
と表される.のとき
であるから 条件(i)
をみたす. ある
,
に対して
,
とおく. このとき
となる.任意の
について
は解となるから,
も解であるので, 条件(ii)
をみたす. 解
に ある定数
をかけた
もまた解となるから, 条件(iii)
をみたす. よって
は部分空間である.
例 3.30 (部分空間ではない具体例)の部分集合
はの部分空間ではない. なぜなら, 方程式は
を解にもたない. よって
となり, 部分空間ではない.
例 3.31 (部分空間ではない具体例) 集合
はの部分空間ではない.
∵
例 3.32 (部分空間ではない具体例) 集合
はの部分空間ではない.
∵
例 3.33 (部分空間ではない具体例)の部分集合
はの部分空間ではない.
∵
例 3.34 (部分空間ではない具体例)の部分集合
はの部分空間ではない.
∵
例 3.35 (部分空間の具体例)の部分集合
は方程式の解の集合であるから,
の部分空間である.
平成20年2月2日