3.6 $\mathbb{R}^n$ の部分空間

例 3.27 (部分空間の具体例)   連立方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解の集合

$$W= \left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^n}\,\,\right\vert\,\,{A\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$$

は $\mathbb{R}^n$ の部分集合であり， $\mathbb{R}^n$ の部分空間である．

$\vec{x},\vec{y}\in W$ とする． すなわち，$\vec{x}$, $\vec{y}$ は方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解であり，

$$A\vec{x}=\vec{0}, \qquad A\vec{y}=\vec{0}$$

をみたすとする． このとき，

$$A(\alpha\vec{x}+\beta\vec{y})= \alpha(A\vec{x})+\beta(A\vec{y})= \alpha\vec{0}+\beta\vec{0}=\vec{0}$$

となるので $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}$ もまた解である． よって $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}\in W$ となり， $W$ は $\mathbb{R}^n$ の部分空間である．

例 3.28 (部分空間の具体例)   連立方程式 $A\vec{x}=\vec{b}\,(\neq\vec{0})$ の解の集合

$$W= \left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^n}\,\,\right\vert\,\,{A\vec{x}=\vec{b}}\,\right\}$$

は $\mathbb{R}^n$ の部分集合であり， $\mathbb{R}^n$ の部分空間ではない．

$A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}$ より 非同次系は原点 $\vec{0}$ を解にもたない． よって $W$ は $\vec{0}$ を含まず，部分空間とはならない． つまり，

$$W\ni\vec{x},\vec{y},\quad \mathbb{R}\ni \alpha=0,\,\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha\vec{x}+\beta\vec{y}= 0\vec{x}+0\vec{y}=\vec{0}\not\in W$$

である．

例 3.29 (部分空間の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分集合

$$W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^3 \,\,\left\vert\,\, \begin{array}{l} 2x_1+3x_2-x_3=0 \\ x_1-2x_2+3x_3=0 \end{array} \right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^3$ の部分空間である．

$W$ は同次連立方程式の解の集合であるから， 解を求めと，

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = c \begi... ...ec{u}= \begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \forall c\in\mathbb{R}$$

となる．$W$ は

$$W=\left\{\left.\,{\vec{x}=c\vec{u}}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

と表される． $c=0$ のとき $\vec{x}=\vec{0}$ であるから 条件(i) $\vec{0}\in W$ をみたす． ある $c_1$, $c_2$ に対して $\vec{x}_1=c_1\vec{u}$, $\vec{x}_2=c_2\vec{u}$ とおく． このとき $\vec{x}_1+\vec{x}_2=c_1\vec{u}+c_2\vec{u}=(c_1+c_2)\vec{u}$ となる．任意の $c$ について $c\vec{u}$ は解となるから， $\vec{x}_1+\vec{x}_2=(c_1+c_2)\vec{u}$ も解であるので， 条件(ii) $\vec{x}_1+\vec{x}_2\in W$ をみたす． 解 $\vec{x}=c\vec{u}$ に ある定数 $\alpha$ をかけた $\alpha\vec{x}=\alpha c\vec{u}=(\alpha c)\vec{u}$ もまた解となるから， 条件(iii) $\alpha\vec{x}\in W$ をみたす． よって $W$ は部分空間である．

例 3.30 (部分空間ではない具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分集合

$$W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^3 \,\,\left\vert\,\, \begin{array}{l} 2x_1+3x_2-x_3=1 \\ x_1-2x_2+3x_3=2 \end{array} \right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^3$ の部分空間ではない． なぜなら， 方程式は $\vec{x}=\vec{0}$ を解にもたない． よって $\vec{0}\notin W$ となり， 部分空間ではない．

例 3.31 (部分空間ではない具体例)   集合

$$W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^2}\,\,\right\vert\,\,{x_{1}{}^2+x_{2}{}^2=1}\,\right\}$$

は $\mathbb{R}^2$ の部分空間ではない．

$$( ) \qquad W\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbb{... ...n{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 0 \end{bmatrix} \not\in W.$$

例 3.32 (部分空間ではない具体例)   集合

$$W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^2}\,\,\right\vert\,\,{x_{1}\ge0,\,x_{2}\ge0}\,\right\}$$

は $\mathbb{R}^2$ の部分空間ではない．

$$( ) \qquad W\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbb{... ...{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \end{bmatrix} \not\in W.$$

例 3.33 (部分空間ではない具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分集合

$$W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^3 \,\,\left\vert\,\, \begin{array}{l} 2x_1+3x_2-x_3\leq 1 \\ x_1-2x_2+3x_3\leq 1 \end{array} \right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^3$ の部分空間ではない．

$$( ) \qquad W\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \m... ... \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \not\in W.$$

例 3.34 (部分空間ではない具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分集合

$$W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^3 \,\,\left\vert\,\, \begin{array}{l} x_1{}^2+x_2{}^2-x_3{}^2=0 \\ x_1-x_2+2x_3=1 \end{array} \right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^3$ の部分空間ではない．

$$( ) \qquad W\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, ... ...\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \not\in W.$$

例 3.35 (部分空間の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分集合

$$W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^3 \,\,\left\vert\,\, 2x_1+x_2-2x_3=0 \right. \right\}$$

は方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解の集合であるから， $\mathbb{R}^3$ の部分空間である．

平成20年2月2日