3.7 $\mathbb{R}[x]_n$ の部分空間

例 3.36 (多項式からなる部分空間の具体例)   ベクトル空間

$$\mathbb{R}[x]_3= \left\{\left.\,{f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3}\,\,\right\vert\,\,{a_0,a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

の部分集合

$$W=\left\{\left.\,{f(x)\in\mathbb{R}[x]_3}\,\,\right\vert\,\,{f(1)=0,\,f(-1)=0}\,\right\}$$

は $\mathbb{R}[x]_3$ の部分空間ではない．

（証明）     (i) $\mathbb{R}[x]_3$ の零ベクトルは $f_0(x)=0$ である． $f_0(1)=0$, $f_0(-1)=0$ となるから， $f_0\in W$ である． (ii) $f,g\in W$ とする． すなわち $f(\pm 1)=0$, $g(\pm 1)=0$ をみたすとする． このとき $(f+g)(\pm1)=f(\pm1)+g(\pm1)=0+0=0$ が成り立つ． よって $f+g\in W$ となる． (iii) $f\in W$, $f(\pm 1)=0$ とする． 任意の $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して $(\alpha\,f)(\pm1)=\alpha\,f(\pm1)=0$ が成り立つ．よって $\alpha\,f\in W$ となる． (i), (ii), (iii)より， $W$ は $\mathbb{R}[x]_3$ の部分空間である．

例 3.37 (多項式からなる部分空間の具体例)   ベクトル空間 $\mathbb{R}[x]_3$ の部分集合

$$W=\left\{\left.\,{f(x)\in\mathbb{R}[x]_3}\,\,\right\vert\,\,{f(1)=1}\,\right\}$$

は $\mathbb{R}[x]_3$ の部分空間ではない． なぜなら， $f_0(1)=0\neq 1$ となるから， $W\not\ni f_0=0$ である． よって $W$ は $\mathbb{R}[x]_3$ の部分空間ではない．

例 3.38 (多項式からなる部分空間の具体例)   ベクトル空間 $\mathbb{R}[x]_3$ の部分集合

$$W=\left\{\left.\,{f(x)\in\mathbb{R}[x]_3}\,\,\right\vert\,\,{xf'(x)=2f(x)}\,\right\}$$

は $\mathbb{R}[x]_3$ の部分空間である．

（証明）     $\mathbb{R}[x]_3$ の任意の元は $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ である． このとき $xf'=2f$ より

$$x(a_1+2a_2x+3a_3x^2)=2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) \quad\Rightarrow\quad 0=2a_0+a_1x-a_3x^3$$

となる．任意の $x$ について成り立つので，

$$a_0=0,\quad a_1=0,\quad \forall a_2\in\mathbb{R},\quad a_3=0$$

である．$W$ の任意の元は $f=a_2x^2$ と表される． (i) $a_2=0$ のとき $f=f_0=0\in W$． (ii) $f=a_2x^2$, $g=b_2x^2$ $\in W$ に対して $(f+g)(x)=(a_2+b_2)x^2=c_2x^2\in W$． (iii) $f=a_2x^2\in W$, $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して $(\alpha f)(x)=(\alpha a_2)x^2\in W$． (i), (ii), (iii)より $W$ は $\mathbb{R}[x]_3$ の部分空間である．

平成20年2月2日