3.7
の部分空間
例 3.36 (多項式からなる部分空間の具体例) ベクトル空間
の部分集合
はの部分空間ではない.
(証明) (i)
の零ベクトルは
である.
,
となるから,
である. (ii)
とする. すなわち
,
をみたすとする. このとき
が成り立つ. よって
となる. (iii)
,
とする. 任意の
に対して
が成り立つ.よって
となる. (i), (ii), (iii)より,
は
の部分空間である.
例 3.37 (多項式からなる部分空間の具体例) ベクトル空間の部分集合
はの部分空間ではない. なぜなら,
となるから,
である. よって
は
の部分空間ではない.
例 3.38 (多項式からなる部分空間の具体例) ベクトル空間の部分集合
はの部分空間である.
(証明)
の任意の元は
である. このとき
より
となる.任意のについて成り立つので,
である.の任意の元は
と表される. (i)
のとき
. (ii)
,
![]()
に対して
. (iii)
,
に対して
. (i), (ii), (iii)より
は
の部分空間である.
平成20年2月2日