3.11 ちょっとまとめ

まとめ 3.57 (1 次独立性の判定) ベクトル $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}\in\mathbb{R}^{m}$ の 1 次独立性を考える．これらのベクトルを列ベクトルにもつ行列を

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix} : m\times n$

とおく．このとき $\vec{c}$ に関する方程式

$\displaystyle c_{1}\vec{a}_{1}+c_{2}\vec{a}_{2}+\cdots+c_{n}\vec{a}_{n}= A\vec{c}= \vec{0}$

の解の任意定数の個数は $n-\mathrm{rank}\,(A)$ であるから，次の関係が成り立つ：

$\displaystyle n=\mathrm{rank}\,(A)$	$\displaystyle \quad \Leftrightarrow$ 自明解 $\vec{c}=\vec{0}$ のみをもつ		$\displaystyle \quad \Leftrightarrow$ $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ は 1 次独立
$\displaystyle n>\mathrm{rank}\,(A)$	$\displaystyle \quad \Leftrightarrow$ 自明解と非自明解をもつ		$\displaystyle \quad \Leftrightarrow$ $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ は 1 次従属