3.10 ベトクルの 1 次独立と 1 次従属

定義 3.46 (1 次結合，1 次従属)   ベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m\in V$ に対して， ベクトル

$$\vec{v}= c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_1\vec{u}_m \in V, \qquad c_1,c_2,\cdots,c_m\in\mathbb{R}$$

を $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ の 1 次結合または線形結合（linear combination） という． またこのとき， ベクトル $\vec{v}$ は $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ に 1 次従属または線形従属（linearly dependent） であるという．

定義 3.47 (1 次関係，1 次独立，1 次従属)   ベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m\in V$ に対して， 条件式

$$c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_1\vec{u}_m=\vec{0}, \qquad c_1,c_2,\cdots,c_m\in\mathbb{R}$$

を $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ の 1 次関係または 線形関係という．

1 次関係をみたす係数が $c_1=0,c_2=0,\cdots,c_n=0$ のみであるとき， $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ は 1 次独立または線形独立（linearly independent） という． $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ が 1 次独立ではないとき， 1 次従属または線形従属という．

注意 3.48 (自明な 1 次関係)   任意のベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n$ の 1 次関係

$$c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_n\vec{u}_n=\vec{0}$$

において

$$c_1=0,\quad c_2=0,\quad \cdots,\quad c_n=0$$

とおくと，明らかに 1 次関係は成立する． これを自明な 1 次関係という． 成立するのが自明な 1 次関係のみのときベクトルは 1 次独立である． また， 自明な 1 次関係ではないとき非自明な 1 次関係という． 非自明な 1 次関係のときベクトルは 1 次従属である． 非自明な場合は例えば

$$c_1=1,\quad c_2=0, \quad \cdots, \quad c_n=0$$

$$c_1=0,\quad c_2=1, \quad \cdots, \quad c_n=0$$

$$c_1=0,\quad c_2=0, \quad \cdots, \quad c_n=1$$

$$c_1=1,\quad c_2=1, \quad \cdots, \quad c_n=1$$

等々がある．

例 3.49 (ベクトルの 1 次独立，1 次従属の具体例)   ベクトル $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^2$ を考える． $\vec{a}$, $\vec{b}$ が同じ向きのときを考える． 向きが同じなので $\vec{b}=\alpha\vec{a}$ と書ける．また，

$$\alpha\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}$$

となので，非自明な 1 次関係である． よって $\vec{a},\vec{b}$ は 1 次従属である．

例 3.50 (ベクトルの 1 次独立，1 次従属の具体例)   ベクトル $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^2$ を考える． $\vec{a}$, $\vec{b}$ の向きが異なるときを考える． このとき 1 次関係

$$c_1\vec{a}+c_2\vec{b}=\vec{0}$$

は自明なもののみである． もし非自明であれば $c_1=0$ と $c_2=0$ とが同時には 成立しないので， $c_1\neq0$ とおく． このとき

$$\vec{a}=-\frac{c_2}{c_1}\vec{b}$$

と表される． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とは同じ向きとなる． これは与えられた条件と矛盾する． よって 1 次関係は自明なものに限る． $\vec{a}$, $\vec{b}$ は 1 次独立である．

例 3.51 (ベクトルの 1 次独立，1 次従属の具体例)   ベクトル $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^2$ を考える． $\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ となるときを考える． 条件を書き換えると

$$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$$

となる．非自明な 1 次関係であるから， $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は 1 次従属である．

例 3.52 (基本ベクトルの 1 次独立性)   基本ベクトル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\in\mathbb{R}^n$ は 1 次独立である． なぜなら， 1 次関係は

$$c_1\vec{e}_1+c_2\vec{e}_2+\cdots+c_n\vec{e}_n= \begin{bmatrix}c_1... ...c_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} =\vec{0}$$

となるので，係数は自明

$$c_1=0,\quad c_2=0,\quad \cdots,\quad c_n=0$$

なものに限るからである．

例 3.53 (1 次独立の具体例)   $\mathbb{R}[x]_n$ のベクトル $1,x,x^2,\cdots,x^n$ は 1 次独立なベクトルである．

（証明）     1 次関係

$$c_01+ c_1x+ c_2x^2+ \cdots+ c_nx^n=0$$

より $c_0,c_1,c_2,\cdots,c_n$ を定める． $x=0$ とおくと $c_0=0$ が定まる． 1 次関係を微分すると

$$c_1+ 2c_2x+ \cdots+ nc_nx^{n-1}=0$$

となる．$x=0$ とおくと $c_1=0$ が定まる． 同様にして

$$c_0=0,\quad c_1=0,\quad c_2=0,\quad \cdots,\quad c_n=0$$

を得る． 自明な係数のみであるから， よって 1 次独立である．

例 3.54 (1 次独立の具体例)   $\mathbb{R}^{4}$ のベクトル

$$\vec{a}_{1}= \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\qu... ...d{bmatrix}\,,\quad \vec{a}_{3}= \begin{bmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}\,$$

は 1 次独立であるか考える． これらの 1 次関係

$$c_{1}\vec{a}_{1}+ c_{2}\vec{a}_{2}+ c_{3}\vec{a}_{3}= \vec{0}$$

をみたす $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$ を定める． 1 次関係を変形して

$$c_{1} \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}+ c_{2} \begi... ... 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}+ c_{3} \begin{bmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} =\vec{0}$$

であり，

$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

となり，

$$A\vec{c} =\vec{0}$$

と表される． 行列 $A$ を簡約化すると

$$A\to \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

である．よって

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \... ...\\ c_{2} \\ c_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

を得る． 係数は自明なもの

$$c_1=0,\quad c_2=0,\quad c_3=0$$

に限るので， $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次独立である．

例 3.55 (1 次従属の具体例)   $\mathbb{R}^4$ のベクトル

$$\vec{a}_1= \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \... ... \end{bmatrix}, \quad \vec{a}_3= \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix}$$

は 1 次独立であるか考える． 1 次関係より，

$$c_{1}\vec{a}_{1}+c_{2}\vec{a}_{2}+c_{3}\vec{a}_{3} =\vec{0}$$

$$c_1 \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}+ c_2 \begin{bma... ...\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}+ c_3 \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix} =\vec{0}$$

$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} =\vec{0}$$

$$A\vec{c} =\vec{0}$$

となる． 簡約化すると

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 ... ...c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

であるから，

$$\vec{c}= \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2c \\ -3c \\ c \end{bmatrix}, \qquad \forall c\in\mathbb{R}$$

を得る． 1 次関係は

$$(2c)\vec{a}_1+(-3c)\vec{a}_2+(c)\vec{a}_3 =\vec{0}$$

$$2\vec{a}_1-3\vec{a}_2+\vec{a}_3 =\vec{0}$$

となる．非自明な 1 次関係であるから， $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次従属である． また， $\vec{a}_3=-2\vec{a}_1+3\vec{a}_2$ のように， $\vec{a}_3$ は $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$ の 1 次結合で 表される．

注意 3.56 (1 次従属)   一般にベクトルの組が 1 次従属のとき， あるひとつのベクトルは他のベクトルの 1 次結合で表される．

平成20年2月2日