3.13 ベトクルの 1 次独立の性質 ~ その 1
定理 3.59 (1 次独立の性質)個の ベトクル
に対して 次の条件が成り立つ.
- (i).
個のうち
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個のベクトル
が 1 次従属であれば,
個のベトクル
も 1 次従属となる.
- (ii).
個のベトクル
が 1 次独立であれば,
のうち 任意の
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個のベクトルも 1 次独立である.
(証明) (i) ベクトル
,
,
は 1 次従属であるので, 1 次関係
をみたす非自明な係数が存在する. このとき,
となるので,,
,
は 1 次従属である. (ii)は(i)の対偶である.
定理 3.60 (1 次独立の性質)個のベクトル
,
,
,
が 1 次従属であることと,
,
,
,
のうち 少なくとも 1 個のベクトルが 他の
個のベクトルの 1 次結合で表されることとは, 必用十分条件である.
(証明) (必用条件) ベクトル
,
,
が 1 次従属であれば, 1 次関係
をみたす係数で非自明なもの以外にも存在する. 例えば
とすると
となる.は
,
,
の 1 次結合で表される. (十分条件)
が他のベクトル
,
,
の 1 次結合で表されるとすると
となる.これより
を得る.であるから, 非自明な係数
が存在する. よって
,
,
は 1 次従属である.
定理 3.61 (1 次独立の性質) ベトクルが 1 次独立のとき, あるベクトル
が
と表されるとする. このときは一意に定まる.
(証明) 一意に表されないと仮定する. このとき
と書かれる. これらの差をとると
となる. これはに関する 1 次関係である.
は 1 次独立であるから,
であり,
が成り立つ. 係数は一意に定まる.
定理 3.62 (1 次独立の性質) ベクトルが 1 次独立であり,
,
,
,
,
が 1 次従属とする. このとき
と一意に表される.
(証明) ベクトル
,
,
,
,
は 1 次従属であるから, 1 次関係
の係数は非自明なものとなる. このとき
となる. なぜなら
とすると 係数
のうち
となる係数が 存在することになり, 1 次関係
は非自明な係数が存在することになる. これはベクトル,
,
,
が 1 次独立であることと矛盾する. よって
となる. このときベクトル
は
と一意に表される.
平成20年2月2日