3.14 1 次結合の記法

定義 3.63 ( 1 次結合の記法)   $n$ 個のベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n\in V$ のそれぞれが， $m$ 個のベクトル $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_m\in V$ の 1 次結合として，

$$\vec{v}_1 =a_{11}\vec{u}_1+a_{21}\vec{u}_2+\cdots+a_{m1}\vec{u}_m,$$

$$\vec{v}_2 =a_{12}\vec{u}_1+a_{22}\vec{u}_2+\cdots+a_{m2}\vec{u}_m,$$

$$\qquad \vdots$$

$$\vec{v}_n =a_{1n}\vec{u}_1+a_{2n}\vec{u}_2+\cdots+a_{mn}\vec{u}_m$$

と表されるとする．このとき，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right) = \left(a_{11}\vec{u}_1+\cdots+a_{m1}\vec{u}_m,\,\, a_{12}\vec{u}... ...a_{m2}\vec{u}_m,\,\, \cdots,\,\, a_{1n}\vec{u}_1+\cdots+a_{mn}\vec{u}_m \right)$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right... ...\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A$$

と表記することにする．

例 3.64 ( 1 次結合の記法)   ベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3\in V$ と $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2\in V$ が

$$\vec{v}_1=3\vec{u}_1+\vec{u}_2,\quad \vec{v}_2=2\vec{u}_1-\vec{u}_2,\quad \vec{v}_3=\vec{u}_1+4\vec{u}_2$$

をみたすとき，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3\right) = \left(3\vec{u}_1+\vec{u}_2,\,\, 2\vec{u}_1-\vec{u}_2,\,\, \vec{... ...}3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right)A$$

と表される．

注意 3.65 (1 次結合の記法)   $\mathbb{R}^n$ または $\mathbb{C}^n$ において，前例のベクトルは

$$V= \begin{bmatrix}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} = UA$$

と行列として表されることに注意する．

例 3.66 (1 次結合の記法)   ベクトル $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\in V$ の 1 次関係は

$$\vec{0} = c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n = \left(\vec{u... ...trix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\vec{c}$$

と表される．

平成20年2月2日