3.14 1 次結合の記法

定義 3.63 ( 1 次結合の記法)   $ n$ 個のベクトル $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$, $ \cdots$, $ \vec{v}_n\in V$ のそれぞれが, $ m$ 個のベクトル $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \cdots$, $ \vec{u}_m\in V$ の 1 次結合として,

$\displaystyle \vec{v}_1$ $\displaystyle =a_{11}\vec{u}_1+a_{21}\vec{u}_2+\cdots+a_{m1}\vec{u}_m,$    
$\displaystyle \vec{v}_2$ $\displaystyle =a_{12}\vec{u}_1+a_{22}\vec{u}_2+\cdots+a_{m2}\vec{u}_m,$    
  $\displaystyle \qquad \vdots$    
$\displaystyle \vec{v}_n$ $\displaystyle =a_{1n}\vec{u}_1+a_{2n}\vec{u}_2+\cdots+a_{mn}\vec{u}_m$    

と表されるとする.このとき,

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)$ $\displaystyle = \left(a_{11}\vec{u}_1+\cdots+a_{m1}\vec{u}_m,\,\, a_{12}\vec{u}...
...a_{m2}\vec{u}_m,\,\, \cdots,\,\, a_{1n}\vec{u}_1+\cdots+a_{mn}\vec{u}_m \right)$    
  $\displaystyle = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right...
...\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A$    

と表記することにする.

3.64 ( 1 次結合の記法)   ベクトル $ \vec{v}_1$, $ \vec{v}_2$, $ \vec{v}_3\in V$$ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2\in V$

$\displaystyle \vec{v}_1=3\vec{u}_1+\vec{u}_2,\quad \vec{v}_2=2\vec{u}_1-\vec{u}_2,\quad \vec{v}_3=\vec{u}_1+4\vec{u}_2$    

をみたすとき,

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3\right)$ $\displaystyle = \left(3\vec{u}_1+\vec{u}_2,\,\, 2\vec{u}_1-\vec{u}_2,\,\, \vec{...
...}3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right)A$    

と表される.

注意 3.65 (1 次結合の記法)   $ \mathbb{R}^n$ または $ \mathbb{C}^n$ において,前例のベクトルは

$\displaystyle V= \begin{bmatrix}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \vec{v}_3 \end{bmatrix}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} = UA$    

と行列として表されることに注意する.

3.66 (1 次結合の記法)   ベクトル $ \vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\in V$ の 1 次関係は

$\displaystyle \vec{0}$ $\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n = \left(\vec{u...
...trix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\vec{c}$    

と表される.


平成20年2月2日