3.15 ベトクルの 1 次独立の性質 〜 その 2
定理 3.67 (ベトクルの 1 次独立の性質) ベクトル,
,
,
の 各ベクトルが
の 1 次結合で表され, かつ,
であるとき,
は 1 次従属である.
(証明) ベクトル
は
の 1 次結合で表されるので,
と書ける.の 1 次関係は
となる. ここでとおいた. このとき
を
に関する方程式であると考える.
より
となるので, 方程式の解は
個以上の任意定数を含む. よって非自明解をもつので,
は 非自明な 1 次関係の係数
をもつ.
例 3.68 (ベトクルの 1 次独立の性質) ベクトル
は基本ベクトル,
を用いると
か書けるので,
となる.の 1 次関係は
☆
となる. ここでとおいた. これは
に関する方程式となみせる. (☆)は
,
の 1 次関係ともみなせる.
,
は 1 次独立であるから, 自明な係数
のみをもつ. よって
となる.
より解の任意定数の個数は
となる. 以上より
は非自明な解となるから,
は非自明な係数
をもつ. よって,
は 1 次従属である.
注意 3.69 (ベトクルの 1 次独立の性質) ベクトル空間の
個のベクトル
,
,
,
は,
のとき 1 次従属である.
定理 3.70 (ベトクルの 1 次独立の性質) ベクトル,
,
,
と 行列
に対して, 次の条件(i), (ii)が成り立つとき,
が成り立つ.
- (i).
,
,
,
は 1 次独立.
- (ii).
.
(証明)
より,
となる. それぞれがの 1 次関係である.
は 1 次独立であるので, 係数は自明なもののみに限る. よって
となり,
を得る.
注意 3.71 ( 1 次関係) 特にとおく. このとき
となり,の 1 次関係を得る.
が 1 次独立であれば,
となる.
定理 3.72 (ベトクルの 1 次独立の性質) ベクトル,
,
,
が 1 次独立であれば,
のとき,が成立する.
(証明)
例 3.73 (ベトクルの 1 次独立の性質) ベクトル,
,
,
は 1 次独立であり, ベクトル
,
,
,
は
により与えられているとする. このとき,
となる.の 1 次関係は
である. ここでとおいた. これは
の 1 次関係ともみなせる.
は 1 次独立であるから, 自明な係数
のみをもつ. よって
が成り立つ.
を簡約化すると
であり,
より, 解は自明な解
に限る. 以上より
は自明な係数
のみをもつので,1 次独立である.
例 3.74 (ベトクルの 1 次独立の性質) ベクトル,
,
,
は 1 次独立であり, ベクトル
,
,
,
は
により与えられているとする. このとき,
となる.の 1 次関係は
である. ここでとおいた. これは
の 1 次関係ともみなせる.
は 1 次独立であるから, 自明な係数
のみをもつ. よって
が成り立つ.
を簡約化すると
であり,より, 解は非自明な解
をもつ. よっての 1 次関係は
となる. 非自明な 1 次関係であるから,は 1 次従属である.
平成20年2月2日