3.16 演習問題 〜 1 次独立

問 3.75 (1 次独立)   次のベクトルの組は 1 次独立であるか 1 次従属であるか答えよ．
$\parbox{3cm}{(1)$\,\{\vec {a},\vec {b}\}\in\mathbb{R}^2$\\ \includegraphics[width=2.5cm]{dokuritu1.eps}}$     $\parbox{3cm}{(2)$\,\{\vec {a},\vec {b}\}\in\mathbb{R}^2$\\ \includegraphics[width=2.5cm]{dokuritu2.eps}}$     $\parbox{3.3cm}{(3)$\,\{\vec {a},\vec {b},\vec {c}\}\in\mathbb{R}^2$\\ \includegraphics[width=2.5cm]{dokuritu3.eps}}$     $\parbox{3.3cm}{(4)$\,\{\vec {a},\vec {b},\vec {c}\}\in\mathbb{R}^3$\\ \includegraphics[width=2.5cm]{dokuritu4.eps}}$     $\parbox{3.8cm}{(5)$\,\{\vec {a},\vec {b},\vec {c},\vec {d}\}\in\mathbb{R}^3$\\ \includegraphics[width=2.5cm]{dokuritu5.eps}}$

問 3.76 (1 次独立)   $\mathbb{R}^4$ における次のベクトルは 1 次独立であるか．もし 1 次従属であれ ば，$\vec{a}$ を $\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ．
    (1)   $\vec{a}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{4}\end{bmatrix}$， $\vec{b}=\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{8}\\ [-.5ex]{-5}\\ [-.5ex]{7}\end{bmatrix}$， $\vec{c}=\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{9}\\ [-.5ex]{4}\\ [-.5ex]{23}\end{bmatrix}$     (2)   $\vec{a}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-2}\\ [-.5ex]{4}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$， $\vec{b}=\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-3}\end{bmatrix}$， $\vec{c}=\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{-6}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{4}\end{bmatrix}$

問 3.77 (1 次独立)   次のベクトルの組が 1 次独立であるか 1 次従属であるか述べよ．

(1) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (2) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$      (3) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}}$$      (4) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}}$$

(5) $${ \mathbb{R}^{2}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (6) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (7) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}}$$

(8) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}}$$      (9) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (10) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$

(11) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ -7 \end{bmatrix}}$$      (12) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (13) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$

(14) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$      (15) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}}$$      (16) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$

(17) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (18) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{bmatrix}}$$      (19) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}}$$

(20) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 7 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{bmatrix}}$$      (21) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}}$$

(22) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (23) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 7 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -6 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}}$$

(24) $${ \mathbb{R}^{3}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (25) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$

(26) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$      (27) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 7 \\ -2 \end{bmatrix}}$$

(28) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$      (29) $${ \mathbb{R}^{4}\ni \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$

(30) $${\mathbb{R}[x]_2\ni 1+x+x^2,\,\,2-x+2x^2,\,\,-1+2x+x^2}$$

問 3.78 (1 次結合)   ベクトルを

$$\vec{u}_1= \begin{bmatrix}1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}, \qquad \vec... ...\\ -4 \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_4= \begin{bmatrix}1 \\ a \\ 5 \end{bmatrix}$$

とおく． $\vec{u}_3$ を $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ の1 次結合で表せ． また，$\vec{u}_4$ が $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ の 1 次結合で表されるための $a$ の値を定めよ．

問 3.79 (1 次独立)   $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が 1 次独立であるとき，次を証明せよ．
    (1)   $\vec{a}+\vec{b}$， $\vec{a}-\vec{b}$， $\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}$ は 1 次独立である．
    (2)   $\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}$， $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$， $\vec{a}+\vec{c}$ は 1 次独立である．
    (3)   $\vec{a}+\vec{b}-3\vec{c}$， $\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}$， $\vec{b}+\vec{c}$ は 1 次従属である．

問 3.80 (1 次独立)   ベクトル $\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{m}$ が 1 次独立のとき， $\vec{v}_{1}$, $\vec{v}_{2}$, $\cdots$, $\vec{v}_{n}$ は 1 次独立であるか 1 次従属であるか述べよ．

(1) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...2} \\ \vec{v}_{2}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2} \end{array}\right.}$$          (2) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...\\ \vec{v}_{2}=-3\vec{u}_{1}+6\vec{u}_{2} \end{array}\right.}$$          (3) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ... \\ \vec{v}_{3}=2\vec{u}_{1}+3\vec{u}_{2} \end{array}\right.}$$

(4) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...{v}_{2}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}-\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (5) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...v}_{2}=-\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}-\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (6) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=2\vec{u}... ...}_{3}=\vec{u}_{1}+2\vec{u}_{2}+4\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$

(7) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...}_{3}=2\vec{u}_{1}-\vec{u}_{2}+2\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (8) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...v}_{3}=\vec{u}_{1}-2\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (9) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ..._3 \\ \vec{v}_{3}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (10) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ..._3 \\ \vec{v}_{3}=\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (11) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...v}_{3}=3\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (12) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...v}_{4}=\vec{u}_{1}+2\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (13) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...u}_{1}-\vec{u}_{2}+2\vec{u}_{3}-\vec{u}_{4} \end{array}\right.}$$          (14) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...{u}_{1}-\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}+\vec{u}_{4} \end{array}\right.}$$

(15) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...}_{1}+3\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}+3\vec{u}_{4} \end{array}\right.}$$          (16) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...}_{1}+2\vec{u}_{2}+3\vec{u}_{3}+\vec{u}_{4} \end{array}\right.}$$

(17) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_... ...}_{1}+\vec{u}_{2}-3\vec{u}_{4}-2\vec{u}_{5} \end{array}\right.}$$      (18) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_{... ...\\ \vec{v}_{m-1}=\vec{u}_{m-1}+\vec{u}_{m} \end{array}\right.}$$      (19) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_{... ...dots\\ \vec{v}_{m}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{m} \end{array}\right.}$$

問 3.81 (1 次独立)   $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_m}$ が 1 次独立であるとき，次を証明せよ．
    (1)  0 でない実数 $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ に対して， $k_1\vec{a_1}$, $k_2\vec{a_2}$, $\cdots$, $k_m\vec{a_m}$ は 1 次独立である．
    (2)   $\vec{b}=k_1\vec{a_1}+k_2\vec{a_2}+\cdots+k_m\vec{a_m}\,(k_1\not=0)$ のとき，$\vec{b}$, $\vec{a_2}$, $\cdots$, $\vec{a_m}$ は 1 次独立で ある．

平成20年2月2日