3.17 1 次独立なベクトルの最大個数

定義 3.82 (ベクトルの 1 次独立な最大個数)   ベクトルの集合 $X$ が， ある $r$ 個のベクトルでは 1 次独立となり， 任意の $r+1$ 個のベクトルでは 1 次従属となるとき， $r$ を集合 $X$ の 1 次独立なベクトルの最大個数という．

定理 3.83 (ベクトルの 1 次独立な最大個数)   ベクトルの集合 $\{\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n\}$, $\{\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_m\}$ において， $\vec{v}_1$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ の各ベクトルが $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ の 1 次結合で表されるとき， $\{\vec{v}_1$,$\cdots$, $\vec{v}_n\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $\{\vec{u}_1$,$\cdots$, $\vec{u}_m\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数以下となる．

（証明）     $\vec{v}_1$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ の各ベクトルは $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ の 1 次結合で表されるので

$$\vec{v}_j=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\vec{u}_i, \qquad i=1,2,\cdots,n$$

であり，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)= \left(\vec{u}_... ...ots & a_{mn} \end{bmatrix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A$$

と書ける． $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ の 1 次独立のベクトルの最大個数を $r$ とする． $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$ が 1 次独立であるとすると， その他のベクトル $\vec{u}_{r+1}$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ は $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$ の 1 次結合で表される． よって

$$\vec{u}_{r+1}= \sum_{i=1}^{r}b_{i,r+1}\vec{u}_{i}, \qquad \cdots, \qquad \vec{u}_{m}= \sum_{i=1}^{r}b_{i,m}\vec{u}_{i}$$

と表される． このとき

$$\left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_r,\,\, \vec{u}_{r+1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right) = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_r,\,\, \vec{u}_{r+1},\... ...& \!\vdots \\ 0\! & \!\cdots\! & \!0\! & \!0\! & \!\cdots\! & \!0 \end{bmatrix}$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_r,\,\, \vec{u}_{r+1},\... ...\vec{u}_m\right)\begin{bmatrix}E_r & B \\ O_{m-r,r} & O_{m-r,m-r} \end{bmatrix}$$

となる． これより

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)= \left(\vec{u}_... ...} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)\begin{bmatrix... ... \!\vdots \\ 0 \! & \!\cdots\! & \!0\! & \!0\! & \!\cdots\! & \!0 \end{bmatrix}$$

を得る．よって

$$\vec{v}_j= \sum_{i=1}^{r}c_{ij}\vec{u}_i, \qquad j=1,2,\cdots,n$$

となる． $\vec{v}_1$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ の 各ベクトルは $r$ 個のベクトル $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$ の 1 次結合で表される． このとき $\vec{v}_1$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ のうち 任意の $r+1$ 個のベクトルは 1 次従属であるので， 1 次独立の最大個数は $r$ 個以下となる．

例 3.84 (ベクトルの 1 次独立な最大個数の具体例)   $\mathbb{R}^{n}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $n$ である．

（証明）     $n=2$ のときを考える． まず明らかに $\vec{e}_1,\vec{e}_2\in\mathbb{R}^2$ は 1 次独立であるので， 1 次独立なベクトルの最大個数は 2 以上である． ここで，3 個のベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix} =a_{1}\vec{e... ...{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} =c_{1}\vec{e}_1+c_{2}\vec{e}_2 \quad \in\mathbb{R}^2$$

を 1 次独立と仮定する． このとき 1 次関係

$$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}$$

を考える． これより

$$(\alpha a_1+\beta b_1+\gamma c_1)\vec{e}_1+ (\alpha a_2+\beta b_2... ...+\beta b_1+\gamma c_1 \\ \alpha a_2+\beta b_2+\gamma c_2 \end{bmatrix} =\vec{0}$$

$$\quad\Rightarrow\quad \begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2... ..._2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}=\vec{0}$$

となる． 係数行列の階数は $2$ 以下であるから $(\alpha,\beta,\gamma)$ は任意定数を含む解であり， 1 次関係は非自明係数となる． よって， $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は 1 次従属である． 以上より， $\mathbb{R}^2$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $2$ である． $n\ge3$ のときも同様に示される．

平成20年2月2日