3.18 1 次独立なベクトルの最大個数と 1 次結合

定理 3.85 (ベクトルの 1 次独立な最大個数)   ベトクルの集合 $\{\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_m\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数が $r$ であることの必用十分条件は， $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ のなかに $r$ 個の 1 次独立な ベクトルがあり， 他の $m-r$ 個のベクトルはこの $r$ 個のベクトルの 1 次結合で 表されることである．

（証明）     （必用条件） $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ のうち 1 次独立な $r$ 個のベクトルを $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$ とする． このとき $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$, $\vec{u}_t$ ( $t=r+1,r+2,\cdots,m$) は 1 次従属であるから， $\vec{u}_t$ は $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$ の 1 次結合で表される． （十分条件） $r$ 個のベクトル $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$ が 1 次独立であるとする． $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $r$ 以上となる． また， 他の $m-r$ 個のベクトル $\vec{u}_{r+1}$, $\cdots$, $\vec{u}_{m}$ が $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r$ の 1 次結合で表されるとする． このとき，

$$\left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)= \left(\vec{u}_... ... \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & a_{r,r+1} & \cdots & a_{r,m} \end{bmatrix}$$

と表されるから， $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_r\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数 $r$ 以下となる． よって $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_m\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $r$ である．

例 3.86 (ベクトルの 1 次独立な最大個数の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \... ...\vec{a}_5= \begin{bmatrix}1 \\ -4 \\ 7 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \in\mathbb{R}^4$$

の 1 次独立なベクトルの最大個数と そのときベクトルの組の一つを求める． また，その他のベクトルを 1 次独立なベクトルの 1 次結合で表す．

まず， ベクトル $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次関係

$$c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+ c_3\vec{a}_3+ c_4\vec{a}_4+ c_5\vec{a}_5 =\vec{0}$$

を考える．これは

$$\begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 & \vec{a}_4 & \v... ... \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ c_5 \end{bmatrix} =A\vec{c}=\vec{0}$$

と表される． 方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解を求めることで， 1 次関係の係数 $\vec{c}$ が定まる． 行列 $A$ を簡約化すると

$$A\to B= \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \... ...bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \vec{b}_3 & \vec{b}_4 & \vec{b}_5 \end{bmatrix}$$

となる． 方程式 $B\vec{x}=\vec{0}$ の解と 方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解とは等しく $\vec{c}$ であるから， ベクトル $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次関係と ベクトル $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次関係は等しい．

まず， $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\cdots,\vec{b}_5$ の 1 次独立なベクトルの最大個数を考える． $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4$ に着目すると，

$$\vec{b}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}=\vec{e}_... ...e}_2, \qquad \vec{b}_4= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\vec{e}_3$$

であり， $\mathbb{R}^4$ の基本ベクトルである． 明らかに ベクトルの組 $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4\}$ は 1 次独立であるので， 1 次独立なベクトルの最大個数は $3$ 以上である． 他のベクトル $\vec{b}_3,\vec{b}_5$ について見ると

$$( )\quad \vec{b}_3= \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ... ...\end{bmatrix} = 2\vec{e}_1-\vec{e}_2+\vec{e}_3 = 2\vec{b}_1-\vec{b}_2+\vec{b}_4$$

が成り立つ． $\vec{b}_3,\vec{b}_5$ はそれぞれ $\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4$ に 関して 1 次従属である．

$4$ 個以上のベクトルの組が 1 次従属となることを示す． (その 1) まず，$5$ 個の ベクトルの組 $\{\vec{b}_1$, $\vec{b}_2$, $\vec{b}_3$, $\vec{b}_4$, $\vec{b}_5\}$ に関する 1 次関係は(○)を用いると

$$\vec{0} = c_1\vec{b}_1+c_2\vec{b}_2+c_3\vec{b}_3+ c_4\vec{b}_4+c_5\vec{b}... ...2+ c_3(-\vec{b}_1+2\vec{b}_2)+c_4\vec{b}_4+ c_5(2\vec{b}_1-\vec{b}_2+\vec{b}_4)$$

$$= (c_1-c_3+2c_5)\vec{b}_1+(c_2+2c_3-c_5)\vec{b}_2+ (c_4+c_5)\vec{... ...d{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1-c_3+2c_5 \\ c_2+2c_3-c_5 \\ c_4+c_5 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0... ...bmatrix} \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ c_5 \end{bmatrix} =B\vec{c}$$

となる． この方程式の係数行列は $B$ そのものであるから， 階数は $3$ であり非自明な係数をもつ． よって $\{\vec{b}_1$, $\vec{b}_2$, $\vec{b}_3$, $\vec{b}_4$, $\vec{b}_5\}$ は 1 次従属となる． 次に $4$ 個のベクトルの組が 1 次従属となることを示す． $\{\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$, $\{\vec{b}_1,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$, $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$, $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_5\}$, $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4\}$ の 1 次関係は同様の操作で，

$$c_2\vec{b}_2\!+\!c_3\vec{b}_3\!+\!c_4\vec{b}_4\!+\!c_5\vec{b}_5\!... ...! 0 \end{bmatrix}\! \begin{bmatrix}c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ c_5 \end{bmatrix} \!=\! \vec{0},$$

$$c_1\vec{b}_1\!+\!c_3\vec{b}_3\!+\!c_4\vec{b}_4\!+\!c_5\vec{b}_5\!... ...! 0 \end{bmatrix}\! \begin{bmatrix}c_1 \\ c_3 \\ c_4 \\ c_5 \end{bmatrix} \!=\! \vec{0},$$

$$c_1\vec{b}_1\!+\!c_2\vec{b}_2\!+\!c_4\vec{b}_4\!+\!c_5\vec{b}_5\!... ...! 0 \end{bmatrix}\! \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_4 \\ c_5 \end{bmatrix} \!=\! \vec{0},$$

$$c_1\vec{b}_1\!+\!c_2\vec{b}_2\!+\!c_3\vec{b}_3\!+\!c_5\vec{b}_5\!... ...! 0 \end{bmatrix}\! \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_5 \end{bmatrix} \!=\! \vec{0},$$

$$c_1\vec{b}_1\!+\!c_2\vec{b}_2\!+\!c_3\vec{b}_3\!+\!c_4\vec{b}_4\!... ...! 0 \end{bmatrix}\! \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{bmatrix} \!=\! \vec{0}$$

とそれぞれなる． これらの方程式の係数行列はそれぞれ 行列 $B$ の第 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 列目を除いた形をしている． 係数行列の階数はいずれも $3$ 以下であるから， 非自明な 1 次関係が存在する． $4$ 個のベクトルの組はいずれも 1 次従属となる． (その 2) また別の方法としては次のように示す． 方程式 $B\vec{c}=\vec{0}$ の解は， 任意定数を $\alpha$, $\beta$ とすると

$$( )\qquad (\alpha-2\beta)\vec{b}_1+(-2\alpha+\beta)\vec{b}_2+ \alpha\vec{b}_3-\beta\vec{b}_4+\beta\vec{b}_5= \vec{0}$$

と表される． $5$ 個のベクトルの組 $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$ の 1 次関係は(☆)である． 非自明な 1 次関係であるから $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$ は 1 次従属となる． また，(○)より

$$\vec{0}=-\vec{b}_1+2\vec{b}_2-\vec{b}_3+0\vec{b}_4, \qquad \vec{0}=2\vec{b}_1-\vec{b}_2+\vec{b}_4-\vec{b}_5$$

と非自明な 1 次関係が成り立つので， ベクトルの組 $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4\}$, $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$ は 1 次従属となる． さらには(☆)において， $\alpha=2\beta$, $\beta=2\alpha$, $\beta=0$ とおくと， それぞれ

$$-3\vec{b}_2+2\vec{b}_3-\vec{b}_4+\vec{b}_5=\vec{0}, \quad -3\vec{... ...}_4+2\vec{b}_5=\vec{0}, \quad \vec{b}_1-2\vec{b}_2+\vec{b}_3-0\vec{b}_5=\vec{0}$$

と非自明な 1 次関係が成り立つので， $\{\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$, $\{\vec{b}_1,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5\}$, $\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_5\}$ は 1 次従属となる．

以上より，ベクトルの組 $\{\vec{b}_1,\cdots,\vec{b}_5\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $r=3=\mathrm{rank}\,A$ である． これらの結果は ベクトル $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_5$ の 1 次関係にも適用される． 1 次独立なベクトルの最大個数は $r=\mathrm{rank}\,A=3$ であり， その 1 次独立となるベクトルの組のひとつは $\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_4\}$ である． また，その他のベクトルはこれらの 1 次結合

$$\vec{a}_3=-\vec{a}_1+\vec{a}_2, \qquad \vec{a}_5=2\vec{a}_1-\vec{a}_2+\vec{a}_4$$

として表される．

平成20年2月2日