3.19 1 次関係と行列の簡約化

定理 3.87 (簡約化行列の 1 次関係) 行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$

を簡約化した行列を

$\displaystyle B= \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix}$

とする．このとき

の列ベクトル $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係と

の列ベクトル $\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\cdots,\vec{b}_{n}$ に関する 1 次関係とは等価である．

（証明）行列を簡約化してとなるとき，基本変形を表す行列を用いて

$\displaystyle B=PA$

と表される．これは

$\displaystyle \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix}$	$\displaystyle = P \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$
$\displaystyle \begin{bmatrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \cdots & \vec{b}_{n} \end{bmatrix}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}P\vec{a}_{1} & P\vec{a}_{2} & \cdots & P\vec{a}_{n} \end{bmatrix}$

となるので，各列ベクトルは

$\displaystyle \vec{b}_j=P\vec{a}_j, \qquad j=1,2,\cdots,n$

と表される．また

は正則行列であるから，

$\displaystyle \vec{a}_j=P^{-1}\vec{b}_j, \qquad j=1,2,\cdots,n$

とも表される．ここで $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係を

$\displaystyle c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+ \cdots+ c_n\vec{a}_n =\vec{0}$

とする．これより，

$\displaystyle c_1P^{-1}\vec{b}_1+ c_2P^{-1}\vec{b}_2+ \cdots+ c_nP^{-1}\vec{b}_n$	$\displaystyle =\vec{0}$
$\displaystyle P^{-1}( c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n)$	$\displaystyle =\vec{0}$
$\displaystyle PP^{-1}( c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n)$	$\displaystyle =P\vec{0}$
$\displaystyle c_1\vec{b}_1+ c_2\vec{b}_2+ \cdots+ c_n\vec{b}_n$	$\displaystyle =\vec{0}$

を得る．これは $\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\cdots,\vec{b}_{n}$ に関する 1 次関係であり， $\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\cdots,\vec{a}_{n}$ に関する 1 次関係と等しい．