3.20 1 次独立なベクトルの最大個数と行列の階数
定理 3.88 (行列の列ベクトルと行ベクトルの 1 次独立な最大個数)
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の列ベクトル 1 次独立な最大個数
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の行ベクトル 1 次独立な最大個数
(証明) 行列
を列ベクトルに分割し,
とおく. 行列
を簡約化し,
を得たとする.
とすると, ベクトル
,
,
のうちで 主成分がある列ベクトルは, 左から順に基本ベクトル
,
,
となる. 主成分がない他の列ベクトルは基本ベクトル
,
,
の 1 次結合で表される. 基本ベクトルは明らかに 1 次独立であるから,
,
,
の 1 次独立なベクトルの 最大個数は
となる.
,
,
の 1 次関係は
,
,
の 1 次関係と等しいので,
,
,
の 1 次独立なベクトルの最大個数は
となる.
行列
を行ベクトルに分割し簡約化して
となるとする.の零ベクトルではない行ベクトルの個数を
とする. このときベクトル
,
,
の 1 次関係は
であり,自明な係数のみであるから,
,
,
は 1 次独立である. よって
,
,
の 1 次独立な ベクトルの最大個数は
である. 次に,
は
を基本変形を繰り返して得られるので,
の行ベクトルすべては
の行ベクトルの 1 次結合
で表される.よってが成り立つ. 一方,
に対して基本変形を繰り返して
を得ることもできるので,
と表される.よってが成り立つ. 以上より,
が得られる.
平成20年2月2日