3.20 1 次独立なベクトルの最大個数と行列の階数

定理 3.88 (行列の列ベクトルと行ベクトルの 1 次独立な最大個数)  

$$\mathrm{rank}\,(A) = A$$

$$= A$$

（証明）     行列 $A$ を列ベクトルに分割し， $${A= \begin{bmatrix} \vec{a}_1 & \cdots & \vec{a}_n \end{bmatrix}}$$ とおく． 行列 $A$ を簡約化し， $${B= \begin{bmatrix} \vec{b}_1 & \cdots & \vec{b}_n \end{bmatrix}}$$ を得たとする． $r=\mathrm{rank}\,(A)$ とすると， ベクトル $\vec{b}_1$, $\cdots$, $\vec{b}_n$ のうちで 主成分がある列ベクトルは， 左から順に基本ベクトル $\vec{e}_1$, $\cdots$, $\vec{e}_r$ となる． 主成分がない他の列ベクトルは基本ベクトル $\vec{e}_1$, $\cdots$, $\vec{e}_r$ の 1 次結合で表される． 基本ベクトルは明らかに 1 次独立であるから， $\{\vec{b}_1$, $\cdots$, $\vec{b}_n\}$ の 1 次独立なベクトルの 最大個数は $r$ となる． $\{\vec{a}_1$, $\cdots$, $\vec{a}_n\}$ の 1 次関係は $\{\vec{b}_1$, $\cdots$, $\vec{b}_n\}$ の 1 次関係と等しいので， $\{\vec{a}_1$, $\cdots$, $\vec{a}_n\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $r$ となる．

行列 $A$ を行ベクトルに分割し簡約化して

$$A= \begin{bmatrix}\vec{a}_1 \\ \vdots \\ \vec{a}_m \end{bmatrix} ... ...ex] \vec{b}_s \\ [-1ex] \vec{0}\\ [-1ex] \vdots \\ [-1ex] \vec{0} \end{bmatrix}$$

となるとする． $B$ の零ベクトルではない行ベクトルの個数を $s$ とする． このときベクトル $\vec{b}_1$, $\cdots$, $\vec{b}_s$ の 1 次関係は

$$c_1\vec{b}_1+ \cdots+ c_s\vec{b}_s= \begin{bmatrix}c_1 & * & c_2 & * & c_3 & *\cdots & c_s & * \end{bmatrix} = \vec{0}$$

であり，自明な係数 $c_1=c_2=\cdots=c_s=0$ のみであるから， $\vec{b}_1$, $\cdots$, $\vec{b}_s$ は 1 次独立である． よって $\{\vec{b}_1$, $\cdots$, $\vec{b}_s\}$ の 1 次独立な ベクトルの最大個数は $s=\mathrm{rank}\,(A)$ である． 次に，$B$ は $A$ を基本変形を繰り返して得られるので， $B$ の行ベクトルすべては $A$ の行ベクトルの 1 次結合

$$\vec{b}_i= c_1\vec{a}_1+ \cdots+ c_m\vec{a}_m, \qquad i=1,2,\cdots,m$$

で表される．よって $s\leq r$ が成り立つ． 一方，$B$ に対して基本変形を繰り返して $A$ を得ることもできるので，

$$\vec{a}_i= c_1\vec{b}_1+ \cdots+ c_m\vec{b}_m, \qquad i=1,2,\cdots,m$$

と表される．よって $r\leq s$ が成り立つ． 以上より， $r=s=\mathrm{rank}\,(A)$ が得られる．

平成20年2月2日