3.26 次元

定理 3.103 (ベクトル空間の基底の個数)   ベクトル空間の基底の個数は取り方に依らず一意に定まる． その個数は， ベクトル空間に含まれる 1 次独立なベクトルの最大個数と等しい．

（証明）     ベトクル $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m\in V$ と $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n\in V$ が 共に $V$ の基底とする． このとき， $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ は $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ の 1 次結合で書ける． $n>m$ と仮定すると $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ は 1 次従属であり， $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ が 1 次独立であることと矛盾する． よって $n\leq m$ である． 同様に $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ は $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ の 1 次結合で書ける． $m>n$ と仮定すると $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ は 1 次従属であり， $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ が 1 次独立であることと矛盾する． よって $m\leq n$ である．以上より $n=m$ となり， 基底の個数は一定である．

定義 3.104 (次元)   $K$ 上のベクトル空間 $V$の基底の個数が $n$ 個であるとき， これをベクトル空間 $V$ の次元（dimension）と呼び，

$$\dim_{K}(V)=n$$

と表記する． または省略して単に

$$\dim(V)=n$$

と表記する．

注意 3.105 (零ベクトル空間)   零ベクトル $\vec{0}$ のみからなるベクトル空間 $V=\{\vec{0}\}$ を 零ベクトル空間といい， 次元は $\dim(V)=0$ とする．

定義 3.106 (有限次元のベクトル空間)   ベクトル空間 $V$ の次元 $\dim(V)$ が有限であるとき， $V$ を有限次元のベクトル空間という．

定理 3.107 (ベクトル空間の次元)   ベクトル空間 $V$ の次元 $\dim(V)$ は $V$ の 1 次独立なベクトルの最大個数と等しい．

（証明）     (必用条件) $\dim(V)=n$ とすると， 基底の個数は $n$ である． このとき任意の $n+1$ 個以上のベクトルは 1 次従属となるから， $V$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $n$ である． (十分条件) $V$ の 1 次独立なベクトルの最大個数を $n$ とする． $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n$ が 1 次独立とすると， $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n$, $\vec{u}$ は 1 次従属となる． このとき $\vec{u}$ は $\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n$ の 1 次結合で表される． これは $\vec{u}$ は $V$ の任意のベクトルに対して成り立つので， $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ は $V$ の基底となる． よって $\dim(V)=n$ を得る．

例 3.108 (ベクトル空間の次元の具体例)   $\mathbb{R}^n$ は

$$\mathbb{R}^n= \left\langle \vec{e}_{1},\,\, \vec{e}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{e}_{n}\right\rangle$$

と表される． 標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\}$ の 個数は $n$ である． よって次元は

$$\dim(\mathbb{R}^n)=n$$

となる．

例 3.109 (ベクトル空間の次元の具体例)   $\mathbb{R}[x]_n$ の次元を考える． $\mathbb{R}[x]_n$ のベクトル $1$, $x$, $x^2$, $\cdots$, $x^n$ の 1 次関係

$$0=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n$$

の係数は自明なもの $c_0=c_1=c_2=\cdots=c_n=0$ に限るので， $1,x,x^2,\cdots,x^n$ は 1 次独立である． また，このベクトルの 1 次結合全体の集合は

$$\left\{\left.\,{f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n}\,\,\right\ver... ...ft\langle 1,\,\, x,\,\, x^2,\,\, \cdots,\,\, x^n \right\rangle =\mathbb{R}[x]_n$$

をみたす．よって $\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}$ は $\mathbb{R}[x]_n$ の基底となるから，

$$\dim(\mathbb{R}[x]_n)=n+1$$

となる．

例 3.110 (ベクトル空間の次元の具体例)   無限回微分可能な関数全体の集合 $C^{\infty}$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間である． $C^{\infty}$ は解析関数

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+ \frac{1}{2}f''(0)x^2+ \cdots+ \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+ \cdots$$

全体の集合であるから， 基底として $\{1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $\cdots$, $x^n$, $\cdots\}$ をもつ． 無限個の基底をもつので， $C^{\infty}$ は無限次元のベクトル空間である．

問 3.111 (線形微分方程式の解集合)   $C^{\infty}$ の部分空間

$$W= \left\{ f(x)\in C^{\infty}\,\,\left\vert\,\, a_{n}\frac{d^nf}{... ...1}\frac{d^{n-1}f}{dx^{n-1}}+ \cdots+ a_{1}\frac{df}{dx}+ a_0f=0 \right.\right\}$$

は $\dim(W)=n$ をみたす． これを示せ．

平成20年2月2日