3.26 次元
定理 3.103 (ベクトル空間の基底の個数) ベクトル空間の基底の個数は取り方に依らず一意に定まる. その個数は, ベクトル空間に含まれる 1 次独立なベクトルの最大個数と等しい.
(証明) ベトクル
と
が 共に
の基底とする. このとき,
は
の 1 次結合で書ける.
と仮定すると
は 1 次従属であり,
が 1 次独立であることと矛盾する. よって
である. 同様に
は
の 1 次結合で書ける.
と仮定すると
は 1 次従属であり,
が 1 次独立であることと矛盾する. よって
である.以上より
となり, 基底の個数は一定である.
定義 3.104 (次元)上のベクトル空間
の基底の個数が
個であるとき, これをベクトル空間
の次元(dimension)と呼び,
と表記する. または省略して単に
と表記する.
注意 3.105 (零ベクトル空間) 零ベクトルのみからなるベクトル空間
を 零ベクトル空間といい, 次元は
とする.
定義 3.106 (有限次元のベクトル空間) ベクトル空間の次元
が有限であるとき,
を有限次元のベクトル空間という.
定理 3.107 (ベクトル空間の次元) ベクトル空間の次元
は
の 1 次独立なベクトルの最大個数と等しい.
(証明) (必用条件)
とすると, 基底の個数は
である. このとき任意の
個以上のベクトルは 1 次従属となるから,
の 1 次独立なベクトルの最大個数は
である. (十分条件)
の 1 次独立なベクトルの最大個数を
とする.
,
,
が 1 次独立とすると,
,
,
,
は 1 次従属となる. このとき
は
,
,
の 1 次結合で表される. これは
は
の任意のベクトルに対して成り立つので,
,
,
は
の基底となる. よって
を得る.
例 3.108 (ベクトル空間の次元の具体例)は
と表される. 標準基底の 個数は
である. よって次元は
となる.
例 3.109 (ベクトル空間の次元の具体例)の次元を考える.
のベクトル
,
,
,
,
の 1 次関係
の係数は自明なものに限るので,
は 1 次独立である. また,このベクトルの 1 次結合全体の集合は
をみたす.よっては
の基底となるから,
となる.
例 3.110 (ベクトル空間の次元の具体例) 無限回微分可能な関数全体の集合は
上のベクトル空間である.
は解析関数
全体の集合であるから, 基底として,
,
,
,
,
,
をもつ. 無限個の基底をもつので,
は無限次元のベクトル空間である.
問 3.111 (線形微分方程式の解集合)の部分空間
はをみたす. これを示せ.
平成20年2月2日