3.25 基底

定義 3.99 (基底)   ベクトル空間 $ V$ が 1 次独立なベトクル $ \vec{u}_{1}$, $ \vec{u}_{2}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_{n}$ により生成される空間

$\displaystyle V= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$    

として表されるとき, ベクトルの組

$\displaystyle \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots, \vec{u}_{n}\}$    

$ V$基底(basis)という.

3.100 (基底の具体例)   $ \mathbb{R}^n$ は 基本ベクトル $ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$ を用いて

$\displaystyle \mathbb{R}^n= \left\langle \vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{e}_n\right\rangle$    

と表される. また,基本ベクトル $ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$ は 1 次独立であるから,

$\displaystyle \{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n \}$    

$ \mathbb{R}^n$ の基底である. これを $ \mathbb{R}^n$標準基底(standard basis)という.

注意 3.101 (基底の取り方の非一意性)   基底の取り方は一意ではない.

3.102 (基底の具体例)   $ \mathbb{R}^2$ の基底を考える. $ \mathbb{R}^2$ は標準基底 $ \{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ をもち,

$\displaystyle \mathbb{R}^2= \left\langle \vec{e}_1,\,\,\vec{e}_2\right\rangle$    

と表される. 他の基底を考える. 例えば,

$\displaystyle \vec{u}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_2= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$    

は基底となり得るか調べる. まず,

$\displaystyle P= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} = \begin{bm...
...atrix}, \qquad \det(P)= \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq0$    

であるから, $ \vec{u}_1,\vec{u}_2$ は 1 次独立である. 次に,

$\displaystyle \mathbb{R}^2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle$    

となるか調べる. すなわち $ \mathbb{R}^2$ の任意のベクトル $ \vec{x}$ に対して

$\displaystyle \vec{x}=x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2$    

をみたす $ x'_1,x'_2$ が一意に定まるか調べる. この式を書き換えると

  $\displaystyle \vec{x}=x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2 \quad\Leftrightarrow\quad \be...
...\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} + x'_2 \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}...
...{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{x}=P\vec{x}'$    

となる. これは $ \vec{x}'$ についての非同次連立方程式 $ P\vec{x}'=\vec{x}$ である. $ \det(P)\neq0$ より $ P$ は正則であるから

$\displaystyle \vec{x}'=P^{-1}\vec{x} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x...
...ad x'_1=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2, \quad x'_2=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2$    

となる. $ x'_1,x'_2$ は任意の $ x_1,x_2$ に対して一意に定まる. よって, $ \mathbb{R}^2=
\left\langle \vec{u}_1,\,\,
\vec{u}_2\right\rangle $ が成り立つ. 以上より

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$    

$ \mathbb{R}^2$ の基底である.


平成20年2月2日