3.25 基底

定義 3.99 (基底)   ベクトル空間 $V$ が 1 次独立なベトクル $\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}$ により生成される空間

$$V= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$$

として表されるとき， ベクトルの組

$$\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots, \vec{u}_{n}\}$$

を $V$ の基底（basis）という．

例 3.100 (基底の具体例)   $\mathbb{R}^n$ は 基本ベクトル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$ を用いて

$$\mathbb{R}^n= \left\langle \vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{e}_n\right\rangle$$

と表される． また，基本ベクトル $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$ は 1 次独立であるから，

$$\{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n \}$$

は $\mathbb{R}^n$ の基底である． これを $\mathbb{R}^n$ の標準基底（standard basis）という．

注意 3.101 (基底の取り方の非一意性)   基底の取り方は一意ではない．

例 3.102 (基底の具体例)   $\mathbb{R}^2$ の基底を考える． $\mathbb{R}^2$ は標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ をもち，

$$\mathbb{R}^2= \left\langle \vec{e}_1,\,\,\vec{e}_2\right\rangle$$

と表される． 他の基底を考える． 例えば，

$$\vec{u}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_2= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

は基底となり得るか調べる． まず，

$$P= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} = \begin{bm... ...atrix}, \qquad \det(P)= \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq0$$

であるから， $\vec{u}_1,\vec{u}_2$ は 1 次独立である． 次に，

$$\mathbb{R}^2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle$$

となるか調べる． すなわち $\mathbb{R}^2$ の任意のベクトル $\vec{x}$ に対して

$$\vec{x}=x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2$$

をみたす $x'_1,x'_2$ が一意に定まるか調べる． この式を書き換えると

$$\vec{x}=x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2 \quad\Leftrightarrow\quad \be... ...\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} + x'_2 \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

$$\quad\Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}... ...{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{x}=P\vec{x}'$$

となる． これは $\vec{x}'$ についての非同次連立方程式 $P\vec{x}'=\vec{x}$ である． $\det(P)\neq0$ より $P$ は正則であるから

$$\vec{x}'=P^{-1}\vec{x} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x... ...ad x'_1=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2, \quad x'_2=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2$$

となる． $x'_1,x'_2$ は任意の $x_1,x_2$ に対して一意に定まる． よって， $\mathbb{R}^2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle$ が成り立つ． 以上より

$$\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

は $\mathbb{R}^2$ の基底である．

平成20年2月2日