3.24 ベクトルで張られる空間

定義 3.94 (ベクトルによって生成される空間)   $K$ 上のベクトル空間 $V$ の ベクトル $\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}$ の 線形結合全体の集合を

$$\left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u... ...s+c_{n}\vec{u}_{n}}\,\,\right\vert\,\,{c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\in K}\,\right\}$$

と定義する． この集合を ベクトル $\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}$ に よって生成される（張られる）空間という． または省略して単に $\left\langle \vec{u}_{1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$ と表記する．

定理 3.95 (ベクトルにより生成される空間と部分空間)   ベクトル $\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n} \in V$ により生成される空間

$$W= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$$

は $V$ の部分空間である．

（証明）     まず，明らかに $W\subset V$ である． 次に $W$ の任意の 2 つのベクトルは

$$\vec{a}= a_1\vec{u}_1+ a_2\vec{u}_2+ \cdots+ a_n\vec{u}_n, \qquad \vec{b}= b_1\vec{u}_1+ b_2\vec{u}_2+ \cdots+ b_n\vec{u}_n$$

と表される． これらと任意のスカラー $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ との 線形結合は

$$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b} = (\alpha a_1+\beta b_1)\vec{u}_1+ (\alpha a_2+\beta b_2)\vec{u}_2+ \cdots+ (\alpha a_n+\beta b_n)\vec{u}_n$$

$$= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_n\vec{u}_n \in W$$

となる．よって $W$ は部分空間である．

例 3.96 (ベクトルによって生成される空間の具体例)   $\mathbb{R}^2$ のベクトルにより生成される空間

$$W_1= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle = \left\langle \begin{bm... ...ft\{\left.\,{\alpha\vec{u}_1}\,\,\right\vert\,\,{\alpha\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

は， 方向ベクトル $\vec{u}_1$ で原点 $\vec{0}$ を通る直線である．

次に，

$$W_2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = \left\l... ...rix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$$

を考える．$W_2$ のの任意のベクトルは

$$y_1\vec{u}_1+ y_2\vec{u}_2 = y_1 \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatr... ...egin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_1+y_2 \end{bmatrix}$$

である． 2 つのスカラー $y_1,y_2$ はすべての実数をとる． ここで $y_1,y_1+y_2$ を新たな 2 つの実数 $x_1,x_2$ を用いて $y_1=x_1$, $y_1+y_2=x_2$ とおく． このとき，

$$y_1\vec{u}_1+ y_2\vec{u}_2 = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_1+y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \vec{x}$$

と表される． ベクトル $\vec{x}$ 全体のなす集合は $\mathbb{R}^2$ と等しい． 以上より，

$$W= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle =\mathbb{R}^2$$

が成立する．

さらに，

$$W_3= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_3\right\rangle = \left\l... ...rix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}2 \\ 2 \end{bmatrix} \right\rangle$$

を考える．$W_3$ の任意のベクトルは

$$\vec{x}=c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2= c_1 \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end... ...bmatrix} = (c_1+2c_2) \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = (c_1+2c_2)\vec{u}_1$$

となる．よって，

$$W_3= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle = W_1$$

が成り立つ．

例 3.97 (ベクトルによって生成される空間の具体例)   $\mathbb{R}^3$ のベクトルにより生成される部分空間

$$W_1= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$$

は，方向ベクトル $\vec{u}_1$ で原点 $\vec{0}$ を通る 直線である． 部分空間

$$W_2= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = \left\l... ... \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$$

は原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトルが $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ の 平面である． 部分空間

$$W_3= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\r... ... \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$$

は $W_3=\mathbb{R}_3$ が成り立つ． 部分空間

$$W_4= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_1+\vec{u}_2\right\rangle$$

は

$$W_4= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = W_2$$

が成り立つ．

例 3.98 (ベクトルによって生成される空間の具体例)   基本ベクトル $\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\in \mathbb{R}^{n}$ により生成される空間

$$W= \left\langle \vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{e}_n\right\rangle$$

を考える．$W$ の任意のベクトルは

$$x_1\vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2+ \cdots+ x_n\vec{e}_n = x_1 \begin{bma... ...nd{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} =\vec{x}$$

となる． 係数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ はすべての実数であるから， ベクトル $\vec{x}$ のなす集合は $\mathbb{R}^n$ と等しい． よって，

$$\left\langle \vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{e}_n\right\rangle =\mathbb{R}^{n}$$

が成り立つ．

平成20年2月2日