3.28 ベクトルで張られる部分空間の次元

定理 3.113 (ベクトル空間の次元と階数)   部分空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$    

の次元は

  $\displaystyle \dim(W)=\mathrm{rank}\,(A), \qquad A= \begin{bmatrix}\vec{u}_{1} & \vec{u}_{2}& \cdots & \vec{u}_{n} \end{bmatrix}$    

である.


(証明)     ベクトル $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ の 1 次独立なベクトル最大個数は $ r=\mathrm{rank}\,(A)$ である. $ \vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_r$ が 1 次独立であるとすると, その他のベクトル $ \vec{u}_{r+1}$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n$ は これらの 1 次結合で表されるので,

$\displaystyle \vec{u}_{i}= \mu_{i,1}\vec{u}_{1}+ \cdots+ \mu_{i,r}\vec{u}_{r}, \qquad i=r+1,r+2,\cdots,n$    

となる.このとき $ W$ の任意のベクトルは

$\displaystyle \vec{u}$ $\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ \cdots+ c_r\vec{u}_r+ c_{r+1}\vec{u}_{r+1}+ \cdots+ c_n\vec{u}_n$    
  $\displaystyle = c_1\vec{u}_1+ \cdots+ c_r\vec{u}_r+ c_{r+1}(\mu_{r+1,1}\vec{u}_...
...r}\vec{u}_{r})+ \cdots+ c_{n}(\mu_{n,1}\vec{u}_{1}+\cdots+\mu_{n,r}\vec{u}_{r})$    
  $\displaystyle = (c_1+c_{r+1}\mu_{r+1,1}+\cdots+c_n\mu_{n,1})\vec{u}_1+ \cdots+ (c_n+c_{r+1}\mu_{r+1,r}+\cdots+c_n\mu_{n,r})\vec{u}_r$    
  $\displaystyle = \tilde{c}_1\vec{u}_1+ \cdots+ \tilde{c}_r\vec{u}_r$    

である. よって $ W$ の基底は $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_r\}$ となり, 次元は $ r=\mathrm{rank}\,(A)=\dim(W)$ となる.

3.114 (部分空間の次元の具体例)   ベクトル

$\displaystyle \vec{a}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{a...
...x}, \quad \vec{a}_3= \begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3$    

で生成される $ \mathbb{R}^3$ の部分空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rangle$    

を考える.この次元を求める. $ \vec{a}_1$, $ \vec{a}_2$, $ \vec{a}_3$ を列ベクトルする 行列 $ A$ を簡約化して

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 \end{bmatrix}...
... \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \vec{b}_3 \end{bmatrix}$    

を得る. このとき $ \vec{b}_1=\vec{e}_1$, $ \vec{b}_2=\vec{e}_2$, $ \vec{b}_3=-5\vec{b}_1+2\vec{b}_2$ が成り立つので, $ \vec{a}_1$, $ \vec{a}_2$ は 1 次独立であり, $ \vec{a}_3=-5\vec{a}_1+2\vec{a}_2$ が成り立つ. ベクトルの組 $ \{\vec{a}_1$, $ \vec{a}_2$, $ \vec{a}_3\}$ の 1 次独立なベクトルの最大個数は $ 2=\mathrm{rank}\,(A)$ である. $ W$ の任意のベクトルは

$\displaystyle \vec{x}$ $\displaystyle = c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2+c_3\vec{a}_3= c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2+c_3(-5\vec{a}_1+2\vec{a}_2)$    
  $\displaystyle = (c_1-5c_3)\vec{a}_1+(c_2+2c_3)\vec{a}_2= \tilde{c}_1\vec{a}_1+\tilde{c}_2\vec{a}_2$    

と表される. $ \tilde{c}_1$, $ \tilde{c}_2$ は任意であるから

$\displaystyle W$ $\displaystyle = \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rang...
...2\vec{a}_2+c_3\vec{a}_3}\,\,\right\vert\,\,{c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}}\,\right\}$    
  $\displaystyle = \left\{\left.\,{\tilde{c}_1\vec{a}_1+\tilde{c}_2\vec{a}_2}\,\,\...
...}_2\in\mathbb{R}}\,\right\}= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2\right\rangle$    

が成り立つ. $ \vec{a}_1$, $ \vec{a}_2$ は 1 次独立であるから, $ W$ の基底は $ \{\vec{a}_1$, $ \vec{a}_2\}$ となる. よって

$\displaystyle \dim(W)= \dim( \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}...
...\dim( \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2\right\rangle )=2=\mathrm{rank}\,(A)$    

を得る.


平成20年2月2日