3.29 部分空間のさらに部分空間の次元

定理 3.115 (部分空間の次元)   ベクトル空間 $ V$, $ W$

$\displaystyle W\subset V$    

であるとき,

$\displaystyle \dim (W)\leq\dim(V)$    

が成り立つ.

3.116 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$\displaystyle W_{1}= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\rangle$    

の基底は $ \{\vec{u}_1\}$ である.よって

$\displaystyle \dim(W_1)=1$    

となる.$ W_1$ は原点 $ O(\vec{0})$ と点 $ P(\vec{u}_1)$ を通る直線である.

3.117 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$\displaystyle W_{2}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = \left...
...1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$    

の基底を求める. $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$ が 1 次独立であるか調べる.

$\displaystyle A_2= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} = \begin{...
...xrightarrow{\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$    

であるから, $ \mathrm{rank}\,(A_2)=2$ であり,$ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$ は 1 次独立となる. よって $ W_2$ の基底は $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり,

$\displaystyle \dim(W_2)=\mathrm{rank}\,(A_{2})=2$    

を得る. $ W_2$ は原点 $ O(\vec{0})$ と点 $ P_1(\vec{u}_1)$, $ P_2(\vec{u}_2)$ を通る平面である. さらには

$\displaystyle W_1\subset W_2, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)$    

となることに注意する.

3.118 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$\displaystyle W_{3}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right...
...1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$    

の基底を求める. $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ が 1 次独立であるか調べる.

$\displaystyle A_3= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{bmatri...
...w{\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$    

であるから, $ \mathrm{rank}\,(A_3)=3$ であり,$ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \vec{u}_3$ は 1 次独立となる. よって $ W_3$ の基底は $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり,

$\displaystyle \dim(W_3)=\mathrm{rank}\,(A_3)=3$    

を得る. $ W_3$ は 3 本の軸がそれぞれ 点 $ P_{1}(\vec{u}_1)$, $ P_2(\vec{u}_2)$, $ P_3(\vec{u}_3)$ を 通る 3 次元空間である. さらには

$\displaystyle W_1\subset W_2\subset W_3, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)<\dim(W_3)$    

となることに注意する.

3.119 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$\displaystyle W_{4}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_4\right...
... \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\right\rangle$    

の基底を求める. $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_4$ が 1 次独立であるか調べる.

$\displaystyle A_4= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_4 \end{bmatri...
...\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$    

であるから, $ \mathrm{rank}\,(A_4)=2<3$ であり,$ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \vec{u}_4$ は 1 次従属となる. 最大個数となる 1 次独立なベクトルは $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり, その他のベクトルは $ \vec{u}_4=\vec{u}_{1}-\vec{u}_2$ と表される. よって $ W_4$ の基底は $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり,

$\displaystyle W_4$ $\displaystyle = \left\langle \vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_4\right\rangle...
...\}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_1-\vec{u}_2\right\rangle$    
  $\displaystyle = \left\{\left.\,{\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2+\gamma(\vec{u}_1...
...gamma)\vec{u}_2}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}}\,\right\}$    
  $\displaystyle = \left\{\left.\,{\tilde{\alpha}\vec{u}_1+\tilde{\beta}\vec{u}_2}...
...\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle =W_2$    

となる.以上より

$\displaystyle \dim(W_4)=\mathrm{rank}\,(A_4)=2$    

を得る. $ W_4$ は平面 $ W_2$ と等しい. 点 $ P_4(\vec{u}_4)$ は平面 $ W_2$ に含まれるためである. さらには

$\displaystyle W_1\subset W_2=W_4\subset W_3, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)=\dim(W_4)<\dim(W_3)$    

となることに注意する.

3.120 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$\displaystyle W_{5}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, ...
...0 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$    

の基底を求める. $ \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_5$ が 1 次独立であるか調べる.

$\displaystyle A_5= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 & \vec{u}_5...
...\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$    

であるから, $ \mathrm{rank}\,(A_5)=3<4$ であり, $ \vec{u}_1$, $ \vec{u}_2$, $ \vec{u}_3$, $ \vec{u}_5$ は 1 次従属となる. 最大個数となる 1 次独立なベクトルは $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり, その他のベクトルは $ \vec{u}_5=(\vec{u}_{1}+\vec{u}_2+\vec{u}_3)/2$ と表される. よって $ W_5$ の基底は $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり,

$\displaystyle W_5$ $\displaystyle = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{...
...vec{u}_5}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}}\,\right\}$    
  $\displaystyle = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \frac{1}{2}\vec{u}_{1}+\frac{1}{2}\vec{u}_2+\frac{1}{2}\vec{u}_3 \right\rangle$    
  $\displaystyle = \left\{\left.\,{\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2+\gamma\vec{u}_3+...
...3\right)}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}}\,\right\}$    
  $\displaystyle = \left\{\left.\,{\left(\alpha+\frac{\delta}{2}\right)\vec{u}_1+ ...
...vec{u}_3}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}}\,\right\}$    
  $\displaystyle = \left\{\left.\,{\tilde{\alpha}\vec{u}_1+ \tilde{\beta}\vec{u}_2...
...ight\} = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle =W_3$    

となる.以上より

$\displaystyle \dim(W_5)=\mathrm{rank}\,(A_5)=3$    

を得る. $ W_5$$ W_3$ と等しい. さらには

$\displaystyle W_1\subset W_2=W_4\subset W_3=W_5, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)=\dim(W_4)<\dim(W_3)=\dim(W_5)$    

となることに注意する.


平成20年2月2日