3.29 部分空間のさらに部分空間の次元

定理 3.115 (部分空間の次元)   ベクトル空間 $V$, $W$ が

$$W\subset V$$

であるとき，

$$\dim (W)\leq\dim(V)$$

が成り立つ．

例 3.116 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$$W_{1}= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\rangle$$

の基底は $\{\vec{u}_1\}$ である．よって

$$\dim(W_1)=1$$

となる．$W_1$ は原点 $O(\vec{0})$ と点 $P(\vec{u}_1)$ を通る直線である．

例 3.117 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$$W_{2}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle = \left... ...1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$$

の基底を求める． $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_2= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} = \begin{... ...xrightarrow{\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,(A_2)=2$ であり，$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ は 1 次独立となる． よって $W_2$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり，

$$\dim(W_2)=\mathrm{rank}\,(A_{2})=2$$

を得る． $W_2$ は原点 $O(\vec{0})$ と点 $P_1(\vec{u}_1)$, $P_2(\vec{u}_2)$ を通る平面である． さらには

$$W_1\subset W_2, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)$$

となることに注意する．

例 3.118 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$$W_{3}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right... ...1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$$

の基底を求める． $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_3= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{bmatri... ...w{\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,(A_3)=3$ であり，$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_3$ は 1 次独立となる． よって $W_3$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり，

$$\dim(W_3)=\mathrm{rank}\,(A_3)=3$$

を得る． $W_3$ は 3 本の軸がそれぞれ 点 $P_{1}(\vec{u}_1)$, $P_2(\vec{u}_2)$, $P_3(\vec{u}_3)$ を 通る 3 次元空間である． さらには

$$W_1\subset W_2\subset W_3, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)<\dim(W_3)$$

となることに注意する．

例 3.119 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$$W_{4}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_4\right... ... \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\right\rangle$$

の基底を求める． $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_4$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_4= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_4 \end{bmatri... ...\text{簡約化}} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,(A_4)=2<3$ であり，$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_4$ は 1 次従属となる． 最大個数となる 1 次独立なベクトルは $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり， その他のベクトルは $\vec{u}_4=\vec{u}_{1}-\vec{u}_2$ と表される． よって $W_4$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ であり，

$$W_4 = \left\langle \vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_4\right\rangle... ...\}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_1-\vec{u}_2\right\rangle$$

$$= \left\{\left.\,{\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2+\gamma(\vec{u}_1... ...gamma)\vec{u}_2}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

$$= \left\{\left.\,{\tilde{\alpha}\vec{u}_1+\tilde{\beta}\vec{u}_2}... ...\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle =W_2$$

となる．以上より

$$\dim(W_4)=\mathrm{rank}\,(A_4)=2$$

を得る． $W_4$ は平面 $W_2$ と等しい． 点 $P_4(\vec{u}_4)$ は平面 $W_2$ に含まれるためである． さらには

$$W_1\subset W_2=W_4\subset W_3, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)=\dim(W_4)<\dim(W_3)$$

となることに注意する．

例 3.120 (部分空間の次元の具体例)   部分空間

$$W_{5}= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, ... ...0 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle$$

の基底を求める． $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_5$ が 1 次独立であるか調べる．

$$A_5= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 & \vec{u}_5... ...\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

であるから， $\mathrm{rank}\,(A_5)=3<4$ であり， $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_3$, $\vec{u}_5$ は 1 次従属となる． 最大個数となる 1 次独立なベクトルは $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり， その他のベクトルは $\vec{u}_5=(\vec{u}_{1}+\vec{u}_2+\vec{u}_3)/2$ と表される． よって $W_5$ の基底は $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ であり，

$$W_5 = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{... ...vec{u}_5}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

$$= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \frac{1}{2}\vec{u}_{1}+\frac{1}{2}\vec{u}_2+\frac{1}{2}\vec{u}_3 \right\rangle$$

$$= \left\{\left.\,{\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2+\gamma\vec{u}_3+... ...3\right)}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

$$= \left\{\left.\,{\left(\alpha+\frac{\delta}{2}\right)\vec{u}_1+ ... ...vec{u}_3}\,\,\right\vert\,\,{\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

$$= \left\{\left.\,{\tilde{\alpha}\vec{u}_1+ \tilde{\beta}\vec{u}_2... ...ight\} = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle =W_3$$

となる．以上より

$$\dim(W_5)=\mathrm{rank}\,(A_5)=3$$

を得る． $W_5$ は $W_3$ と等しい． さらには

$$W_1\subset W_2=W_4\subset W_3=W_5, \qquad \dim(W_1)<\dim(W_2)=\dim(W_4)<\dim(W_3)=\dim(W_5)$$

となることに注意する．

平成20年2月2日