3.30 次元と同じ個数の 1 次独立なベクトルは基底
定理 3.121 (ベクトルで張られる空間の次元) ベクトル空間の次元が
のとき, ベクトル
,
,
,
に対して 次の条件は等価である.
- (i).
,
,
,
は
の基底である.
- (ii).
,
,
,
は 1 次独立である.
- (iii).
.
例 3.122 (ベクトルで張られる空間の次元)の基底のひとつに標準基底
がある. 個数は 3 個なので
となる. 次に次元
と同じ個数のベクトル
を考える. これらを列ベクトルとする行列をとおく.
より
は正則となり, ベクトルの組
は 1 次独立である. このとき
は基底となる. これを示す.
の任意のベクトルは
と表される. ここでとおいた.
,
,
は任意の実数となる. よって
が成り立つ.は 1 次独立であり
を生成するので,
の基底となる.
例 3.123 (ベクトルで張られる空間の次元)の基底のひとつに
がある. すなわち
は 1 次独立であり
が成り立つ. よってとなる. 次に次元
と同じ個数のベクトル
を考える. これらのベクトルは
をみたす.であり
は正則であるので, ベクトルの組
は 1 次独立となる. このとき
は基底となる. これを示す.
に対して右から
をかけると
が成り立つ.の任意のベクトルは
となる. ここでとおいた.
,
,
は任意の実数であるから,
が成り立つ.は一次独立であり
を生成するので,
の基底となる.
平成20年2月2日