3.30 次元と同じ個数の 1 次独立なベクトルは基底

定理 3.121 (ベクトルで張られる空間の次元)   ベクトル空間 $V$ の次元が $\dim(V)=n$ のとき， ベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n\in V$ に対して 次の条件は等価である．

(i).

$\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ は $V$ の基底である．

(ii).

$\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ は 1 次独立である．

(iii).

$V= \left\langle \vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right\rangle$.

例 3.122 (ベクトルで張られる空間の次元)   $\mathbb{R}^3$ の基底のひとつに標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$ がある． 個数は 3 個なので $\dim(\mathbb{R}^3)=3$ となる． 次に次元 $\dim(\mathbb{R}^3)=3$ と同じ個数のベクトル

$$\vec{a}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \vec{a}... ...trix},\quad \vec{a}_3= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3$$

を考える． これらを列ベクトルとする行列を $A=\begin{bmatrix} \vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 \end{bmatrix}$ とおく． $\mathrm{rank}\,(A)=3$ より $A$ は正則となり， ベクトルの組 $\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ は 1 次独立である． このとき $\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ は基底となる． これを示す． $\mathbb{R}^3$ の任意のベクトルは

$$\vec{x} = c_1\vec{e}_1+ c_2\vec{e}_2+ c_3\vec{e}_3= \begin{bmatrix}\vec{e... ...}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = E\vec{c} = AA^{-1}\vec{c} = A\vec{\tilde{c}}$$

$$= \begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 \end{bmatrix} ... ...lde{\vec{c}} = \tilde{c}_1\vec{a}_1+ \tilde{c}_2\vec{a}_2+ \tilde{c}_3\vec{a}_3$$

と表される． ここで $\vec{\tilde{c}}=A^{-1}\vec{c}$ とおいた． $\tilde{c}_1=c_1$, $\tilde{c}_2=-c_1+c_2$, $\tilde{c}_3=-c_2+c_3$ は任意の実数となる． よって

$$\mathbb{R}^3= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rangle$$

が成り立つ． $\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ は 1 次独立であり $\mathbb{R}^3$ を生成するので， $\mathbb{R}^3$ の基底となる．

例 3.123 (ベクトルで張られる空間の次元)   $\mathbb{R}[x]_2$ の基底のひとつに $\{1,x,x^2\}$ がある． すなわち $\{1,x,x^2\}$ は 1 次独立であり

$$\mathbb{R}[x]_2= \left\langle 1,\,\, x,\,\, x^2 \right\rangle$$

が成り立つ． よって $\dim(\mathbb{R}[x]_2)=3$ となる． 次に次元 $\dim(\mathbb{R}[x]_2)=3$ と同じ個数のベクトル

$$f_1=x+x^2, \quad f_2=1-x^2, \quad f_3=x$$

を考える． これらのベクトルは

$$\left(f_1,\,\, f_2,\,\, f_3\right)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right... ... & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A$$

をみたす． $\mathrm{rank}\,(A)=3$ であり $A$ は正則であるので， ベクトルの組 $\{f_1,f_2,f_3\}$ は 1 次独立となる． このとき $\{f_1,f_2,f_3\}$ は基底となる． これを示す． $\left(f_1,\,\, f_2,\,\, f_3\right)E= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A$ に対して右から $A^{-1}$ をかけると

$$\left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)= \left(f_1,\,\, f_2,\,\, f_3\right... ...\, f_3\right)\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

が成り立つ． $\mathbb{R}[x]_2$ の任意のベクトルは

$$f = c_0+c_1x+c_2x^2= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}c... ...,\,\, x,\,\, x^2\right)\vec{c}= \left(f_1,\,\, f_2,\,\, f_3\right)A^{-1}\vec{c}$$

$$= \left(f_1,\,\, f_2,\,\, f_3\right)\tilde{\vec{c}} = \tilde{c}_0+\tilde{c}_1\,x+\tilde{c}_2\,x^2$$

となる． ここで $\tilde{\vec{c}}=A^{-1}\vec{c}$ とおいた． $\tilde{c}_1=c_0+c_2$, $\tilde{c}_2=c_0$, $\tilde{c}_3=-c_0+c_1-c_2$ は任意の実数であるから，

$$\mathbb{R}[x]_2= \left\langle f_1,\,\, f_2,\,\, f_3 \right\rangle$$

が成り立つ． $\{f_1,f_2,f_3\}$ は一次独立であり $\mathbb{R}[x]_2$ を生成するので， $\mathbb{R}[x]_2$ の基底となる．

平成20年2月2日